Question

已知：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y=-x²+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，直線y=kx+3與該二次函數(shù)的圖象交于D、B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)D在y軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0）．
（1）求k的值和這個(gè)二次函數(shù)的解析式．
（2）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為C，點(diǎn)F為線段DB上一點(diǎn)，且使得∠DCF=∠ODB，求出此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo)．
（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)P為直線DB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線與這個(gè)二次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)E．問：是否存在這樣的點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）本題需先根據(jù)直線y=kx+3和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入即可求出k的值，再有點(diǎn)D的坐標(biāo)代入二次函數(shù)y=-x²+bx+c中，即可求出b、c的值，即可求出答案．
（2）本題需先根據(jù)圖形得出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再根據(jù)已知條件的出∠ODB的度數(shù)，再做過點(diǎn)D作此拋物線對(duì)稱軸的垂線，從而得出點(diǎn)F的坐標(biāo)．
（3）本題首先判斷出存在這樣的點(diǎn)，再根據(jù)已知條件得出以點(diǎn)P、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，再設(shè)出點(diǎn)P和點(diǎn)E的坐標(biāo)，從而得出x的值，即可求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵直線y=kx+3經(jīng)過點(diǎn)B（3，0），
∴可求出k=-1．
由題意可知，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，3）．
∵拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)B和點(diǎn)D，

0=-9+3b+c 3=c.

解得

b=2 c=3.

∴拋物線的解析式為
y=-x²+2x+3；

（2）如圖，可求頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，4）．
由題意，可知∠ODB=45°．
過點(diǎn)D作此拋物線對(duì)稱軸的垂線DG，
可知DG=CG=1，
所以此時(shí)∠DCG=45°，
則易知點(diǎn)F的坐標(biāo)為（1，2）；

（3）存在這樣的點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．
理由如下：由題意知PE∥CF，
∴要使以點(diǎn)P、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，只要滿足PE=CF=2即可．
∵點(diǎn)P在直線DB上，
∴可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，-x+3）．
∵點(diǎn)E在拋物線y=-x²+2x+3上，
∴可設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x，-x²+2x+3）．
∴當(dāng)-x+3-（-x²+2x+3）=2時(shí)，解得x=

3± 17

2

；
當(dāng)-x²+2x+3-（-x+3）=2時(shí)，解得x=1或x=2，
x=1不合題意，舍去．
∴滿足題意的點(diǎn)P的橫坐標(biāo)分別為x1=

3+ 17

2

，x2=

3- 17

2

，x₃=2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、坐標(biāo)點(diǎn)的求法等知識(shí)點(diǎn)．主要考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．