Question

矩形、菱形、正方形都是平行四邊形，但它們都是有特殊條件的平行四邊形．正方形不僅是特殊的平行四邊形，而且是鄰邊相等的特殊矩形，也是有一個(gè)角是直角的特殊菱形．因此，我們可以利用矩形、菱形的性質(zhì)來(lái)研究正方形的有關(guān)問(wèn)題，回答下列問(wèn)題：
（1）將平行四邊形、矩形、菱形、正方形填入它們的包含關(guān)系圖中：

（2）要證明一個(gè)四邊形是正方形，可以先證明四邊形是矩形，再證明這個(gè)矩形的

 

相等；或者先證明四邊形是菱形，再證明這個(gè)菱形有一角是

 

．
（3）如下圖菱形ABCD，某同學(xué)根據(jù)菱形面積計(jì)算公式推導(dǎo)出對(duì)角線長(zhǎng)為a的正方形面積是S=

1

2

a2，對(duì)此結(jié)論，你認(rèn)為是否正確？若正確，請(qǐng)給予證明；若不正確，舉出一個(gè)反例來(lái)說(shuō)明．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)在平行四邊形中，鄰邊相等的是菱形，鄰邊垂直的是矩形，而既是矩形又是菱形的平行四邊形是正方形，可根據(jù)此關(guān)系來(lái)畫(huà)圖．
（2）根據(jù)正方形的判定方法進(jìn)行解答即可．即兩種常見(jiàn)的方法：①一組鄰邊相等的矩形是正方形．②一個(gè)角是直角的菱形是正方形．
（3）本題的證明方法有多種，可根據(jù)正方形的對(duì)角線互相垂直平分且相等，將正方形分成兩個(gè)直角三角形的面積和來(lái)求證，也可通過(guò)對(duì)角線求出正方形的邊長(zhǎng)來(lái)求證．

解答：解：（1）如下圖

（2）一組鄰邊、直角．
（3）結(jié)論正確；證明：如下圖，
S_{正方形ABCD=}S_△AOB+S_△AOD+S_△COD+S_△BOC=4×

1

2

×

1

2

a×

1

2

a=

1

2

a²．

點(diǎn)評(píng)：本題是考查菱形的性質(zhì)及正方形的判定方法，判定一個(gè)四邊形為正方形主要根據(jù)正方形的概念，常用方法有兩種：
①先說(shuō)明它是矩形，再說(shuō)明有一組鄰邊相等；
②先說(shuō)明它是菱形，再說(shuō)明它有一個(gè)角為直角．