在平面直角坐標系中,O為坐標原點,二次函數(shù)y=-
14
x2
+bx+c的圖象經(jīng)過點A(4精英家教網(wǎng),0)、C(0,2).
(1)試求這個二次函數(shù)的解析式,并判斷點B(-2,0)是否在該函數(shù)的圖象上;
(2)設所求函數(shù)圖象的對稱軸與x軸交于點D,點E在x軸上,若以點C、D、E為頂點的三角形與△ABC相似,試求點E的坐標.
分析:(1)將點A(4,0)、C(0,2)的坐標代入次函數(shù)y=-
1
4
x2
+bx+c,即可求得拋物線的解析式,再將B(-2,0)坐標代入拋物線的解析式即可知道它是否在該函數(shù)的圖象上;
(2)先求出D 點坐標,再根據(jù)題中已知條件便可求出點E的坐標.
解答:解:(1)點A(4,0)、C(0,2)的坐標代入次函數(shù)y=-
1
4
x2
+bx+c;
可得
-
1
4
×16+4b+c=0
c=2
,
解得
b=
1
2
c=2

∴二次函數(shù)的解析式為y=-
1
4
x2
+
1
2
x+2;
將B(-2,0)坐標代入拋物線的解析式y(tǒng)=-
1
4
x2
+
1
2
x+2可得-
1
4
×4+
1
2
×(-2)+2=0,
點B(-2,0)在該函數(shù)的圖象上;
精英家教網(wǎng)
(2)拋物線y=-
1
4
x2
+
1
2
x+2的對稱軸為x=-
b
2a
=1,
∴D點坐標為D(1,0),CD=
5
,
∵點E在x軸上,
設E點坐標為E(x,0),
由題意可知AB=4+2=6,AC=2
5
,BC=2
2
,
①當△ABC∽△CDE時,∴
AB
CD
=
BC
DE
6
5
=
2
2
DE
,
解得DE=
10
3
,
∵D點坐標為(1,0),
∴E點坐標為(-
10
3
+1,0).
②當△ABC∽△CED時,
AB
CE
=
BC
ED
,即
6
CE
=
2
2
DE
,∴
6
x2+4
=
2
2
|1-x|
,
解得,x=
74
7
,
∴點E的坐標為(
9+
74
7
,0),(
9-
74
7
,0);
③當△ABC∽△DEC時,
AB
DE
=
BC
EC
,即
6
|1-x|
=
2
2
x2+4
,
解得,x=
-2±
277
7
,∴點E的坐標為(
-2+
277
7
,0),(
-2-
277
7
,0).
點評:本題是二次函數(shù)的綜合題,其中涉及到的知識點有拋物線的公式的求法和等腰三角形的性質(zhì)及三角形的相似等知識點,是各地中考的熱點和難點,解題時注意數(shù)形結合數(shù)學思想的運用,同學們要加強訓練,屬于中檔題.
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2
2

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(1)在圖中畫出所有符合要求的△A1B1C1;
(2)若△OMN的頂點坐標分別為O(0,0)、M(2,4)、N(6,2),把△OMN經(jīng)過【θ,k】變換后得到△O′M′N′,若點M的對應點M′的坐標為(-1,-2),則θ=
0°(或360°的整數(shù)倍)
,k=
2

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