在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，二次函數(shù)y=-
14
x2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（4精英家教網(wǎng)，0）、C（0，2）．
（1）試求這個(gè)二次函數(shù)的解析式，并判斷點(diǎn)B（-2，0）是否在該函數(shù)的圖象上；
（2）設(shè)所求函數(shù)圖象的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D，點(diǎn)E在x軸上，若以點(diǎn)C、D、E為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，試求點(diǎn)E的坐標(biāo)．
分析：（1）將點(diǎn)A（4，0）、C（0，2）的坐標(biāo)代入次函數(shù)y=-
1
4
x2+bx+c，即可求得拋物線的解析式，再將B（-2，0）坐標(biāo)代入拋物線的解析式即可知道它是否在該函數(shù)的圖象上；
（2）先求出D 點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)題中已知條件便可求出點(diǎn)E的坐標(biāo)．
解答：解：（1）點(diǎn)A（4，0）、C（0，2）的坐標(biāo)代入次函數(shù)y=-
1
4
x2+bx+c；
可得
-
1
4
×16+4b+c=0
c=2
，
解得
b=
1
2
c=2
，
∴二次函數(shù)的解析式為y=-
1
4
x2+
1
2
x+2；
將B（-2，0）坐標(biāo)代入拋物線的解析式y(tǒng)=-
1
4
x2+
1
2
x+2可得-
1
4
×4+
1
2
×（-2）+2=0，
點(diǎn)B（-2，0）在該函數(shù)的圖象上；
精英家教網(wǎng)
（2）拋物線y=-
1
4
x2+
1
2
x+2的對(duì)稱軸為x=-
b
2a
=1，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為D（1，0），CD=
5
，
∵點(diǎn)E在x軸上，
設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為E（x，0），
由題意可知AB=4+2=6，AC=2
5
，BC=2
2
，
①當(dāng)△ABC∽△CDE時(shí)，∴
AB
CD
=
BC
DE
即
6
5
=
2
2
DE
，
解得DE=
10
3
，
∵D點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（-
10
3
+1，0）．
②當(dāng)△ABC∽△CED時(shí)，
AB
CE
=
BC
ED
，即
6
CE
=
2
2
DE
，∴
6
x2+4
=
2
2
|1-x|
，
解得，x=
9±
74
7
，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（
9+
74
7
，0），（
9-
74
7
，0）；
③當(dāng)△ABC∽△DEC時(shí)，
AB
DE
=
BC
EC
，即
6
|1-x|
=
2
2
x2+4
，
解得，x=
-2±
277
7
，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（
-2+
277
7
，0），（
-2-
277
7
，0）．
點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有拋物線的公式的求法和等腰三角形的性質(zhì)及三角形的相似等知識(shí)點(diǎn)，是各地中考的熱點(diǎn)和難點(diǎn)，解題時(shí)注意數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用，同學(xué)們要加強(qiáng)訓(xùn)練，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

28、在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P到x軸的距離為8，到y(tǒng)軸的距離為6，且點(diǎn)P在第二象限，則點(diǎn)P坐標(biāo)為
（-6，8）
．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

10、在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P1（a，-3）與點(diǎn)P2（4，b）關(guān)于y軸對(duì)稱，則a+b=
-7
．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系中，有A（2，3）、B（3，2）兩點(diǎn)．
（1）請(qǐng)?jiān)偬砑右稽c(diǎn)C，求出圖象經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的函數(shù)關(guān)系式．
（2）反思第（1）小問(wèn)，考慮有沒(méi)有更簡(jiǎn)捷的解題策略？請(qǐng)說(shuō)出你的理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，開(kāi)口向下的拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，D是拋物線的頂點(diǎn)，O為精英家教網(wǎng)坐標(biāo)原點(diǎn)．A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是方程x2-4x-12=0的兩根，且cos∠DAB=
2
2
．
（1）求拋物線的函數(shù)解析式；
（2）作AC⊥AD，AC交拋物線于點(diǎn)C，求點(diǎn)C的坐標(biāo)及直線AC的函數(shù)解析式；
（3）在（2）的條件下，在x軸上方的拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使△APC的面積最大？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)和△APC的最大面積；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

18、在平面直角坐標(biāo)系中，把一個(gè)圖形先繞著原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的角度為θ，再以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k得到一個(gè)新的圖形，我們把這個(gè)過(guò)程記為【θ，k】變換．例如，把圖中的△ABC先繞著原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的角度為90°，再以原點(diǎn)為位似中心，相似比為2得到一個(gè)新的圖形△A1B1C1，可以把這個(gè)過(guò)程記為【90°，2】變換．
（1）在圖中畫(huà)出所有符合要求的△A1B1C1；
（2）若△OMN的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為O（0，0）、M（2，4）、N（6，2），把△OMN經(jīng)過(guò)【θ，k】變換后得到△O′M′N′，若點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)M′的坐標(biāo)為（-1，-2），則θ=
0°（或360°的整數(shù)倍）
，k=
2
．

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