Question

【題目】已知，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，過(guò)點(diǎn)C的直線與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P．
（1）如圖①，若∠COB=2∠PCB，求證：直線PC是⊙O的切線；
（2）如圖②，若點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，CM交AB于點(diǎn)N，MNMC=36，求BM的值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵OA=OC，

∴∠A=∠ACO．

∴∠COB=2∠ACO．

又∵∠COB=2∠PCB，

∴∠ACO=∠PCB．

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACO+∠OCB=90°．

∴∠PCB+∠OCB=90°，即OC⊥CP．

∵OC是⊙O的半徑，

∴PC是⊙O的切線

（2）解：連接MA、MB．（如圖）

∵點(diǎn)M是弧AB的中點(diǎn)，

∴ ，

∴∠ACM=∠BAM．

∵∠AMC=∠AMN，

∴△AMC∽△NMA．

∴ ．

∴AM2=MCMN．

∵M(jìn)CMN=36，

∴AM=6，

∴BM=AM=6．

【解析】（1）利用半徑OA=OC可得∠COB=2∠A，然后利用∠COB=2∠PCB即可證得結(jié)論，再根據(jù)圓周角定理，易得∠PCB+∠OCB=90°，即OC⊥CP；故PC是⊙O的切線；（2）連接MA，MB，由圓周角定理可得∠ACM=∠BAM，進(jìn)而可得△AMC∽△NMA，故AM2=MCMN；等量代換可得MNMC=BM2=AM2 ， 代入數(shù)據(jù)即可得到結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用圓周角定理和切線的判定定理，掌握頂點(diǎn)在圓心上的角叫做圓心角;頂點(diǎn)在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個(gè)交點(diǎn)的角叫做圓周角;一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半；切線的判定方法：經(jīng)過(guò)半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線即可以解答此題．