Question

【題目】Rt△ABC在直角坐標(biāo)系內(nèi)的位置如圖所示，反比例函數(shù) 在第一象限內(nèi)的圖象與BC邊交于點(diǎn)D（4，m），與直線AB：y= x+b交于點(diǎn)E（2，n）．

（1）m= ，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為 ；（用含n的代數(shù)式表示）；

（2）若△BDE的面積為2，設(shè)直線AB與y軸交于點(diǎn)F，問(wèn)：在射線FD上，是否存在異于點(diǎn)D的點(diǎn)P，使得以P、B、F為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（3）在（2）的條件下，現(xiàn)有一動(dòng)點(diǎn)M，從O點(diǎn)出發(fā)，沿x軸的正方向，以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），問(wèn)：是否存在這樣的t，使得在直線AB上，有且只有一點(diǎn)N，滿(mǎn)足∠MNC＝45°？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）n； n+1；（2）P(5，1)．（3）t＝、t=20﹣6

．

【解析】（1）∵點(diǎn)E（2，n）和點(diǎn)D（4，m）在反比例函數(shù) 的圖象上，∴k=2n，k=4m，∴4m=2n，∴m=n，∵點(diǎn)E（2，n）在直線 上，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)是（2，1+b），∴1+b=n，∴b=n﹣1，∵點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是4，點(diǎn)B在直線上，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是（4，2+b），∴點(diǎn)B的縱坐標(biāo)是2+n﹣1=n+1；

故答案為：n；n+1．

（2）∵E（2，n），D（4，n），B（4，n+1），由S△BDE=2得×（n+1）×2＝2解得n＝2．此時(shí)直線AB為y=x+1，A（－2，0）、F（0，1）．

同時(shí)，B（4，3），D（4，1），C（4，0）．∴FD∥AC．

射線FD上，異于點(diǎn)D的點(diǎn)P，使得以P、B、F為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，只可能為△BFP∽△CAB．

∴，，解得FP＝5．從而可得P（5，1）．

（3）以MC為斜邊，作等腰直角△QMC，則以Q為圓心、QM為半徑的⊙Q，與直線AB的公共點(diǎn)N恰好符合∠MNC＝45°．由題意知，在直線AB上，有且只有一點(diǎn)N，滿(mǎn)足∠MNC＝45°，∴⊙Q恰好與AB相切．∴點(diǎn)Q到AB的距離d＝QM＝ MC．

①運(yùn)動(dòng)t（s）時(shí)，M（2t，0）．當(dāng)點(diǎn)M在C點(diǎn)左側(cè)時(shí)，則MC＝4－2t．

由S△QAB＋S△QAC＋S△QBC＝S△ABC可得

×3× （4－2t）＋×6× ＋×3×＝×6×3．解得t＝．

②當(dāng)M在C點(diǎn)右側(cè)時(shí)，則MC＝2t－4．利用S△QAB＋S△QAC——S△QBC＝S△ABC，

同理可得t＝ ．