Question

如圖，已知圓O的弦AB被點C、D三等分，又E、F是弧AB的三等分點，連接EC、FD交于S，連接SA、SB，求證：∠ASB=

1

3

∠AOB．

Answer 1

分析：可連接OE、OF、AE、AF，延長SA交FE的延長線于K，由于E、F是弧AB的三等分點，即

AE

=

BF

，得出AB∥EF，進而得出對應線段成比例，由線段之間的關(guān)系得出∠KAF=90°，得出OE∥SA，以及OF∥SB，進而可求解結(jié)論．

解答：證明：連接OE、OF、AE、AF，延長SA交FE的延長線于K，
∵

AE

=

BF

，
∴AB∥EF，
∴

KE

AC

=

SE

SC

=

EF

CD

，
∵AC=CD，
∴KE=EF=AE，∠KAF=90°，
FA⊥SA，又

AE

=

EF

，
∴OE⊥FA，OE∥SA，
同理可證OF∥SB，
∴∠ASB=∠EOF=

1

3

∠AOB．

點評：本題主要考查了圓心角、弦及弧之間的關(guān)系和平行線分線段成比例的性質(zhì)問題，能夠熟練掌握．