Question

如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)A（-3，0）和點(diǎn)B，以AB為邊在x軸上方作正方形ABCD，點(diǎn)P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接DP，過(guò)點(diǎn)P作DP的垂線與y軸交于點(diǎn)E．

（1）請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)D的坐標(biāo)：
（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段AO（點(diǎn)P不與A、O重合）上運(yùn)動(dòng)至何處時(shí)，線段OE的長(zhǎng)有最大值，求出這個(gè)最大值；
（3）是否存在這樣的點(diǎn)P，使△PED是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及此時(shí)△PED與正方形ABCD重疊部分的面積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）（﹣3，4）；（2）P為AO中點(diǎn)時(shí)，OE的最大值為；(3)存在，或.

試題分析：（1）將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入二次函數(shù)的解析式求得其解析式，然后求得點(diǎn)B的坐標(biāo)即可求得正方形ABCD的邊長(zhǎng)，從而求得點(diǎn)D的縱坐標(biāo)；
（2）PA=t，OE=l，利用△DAP∽△POE得到比例式，從而得到有關(guān)兩個(gè)變量的二次函數(shù)，求最值即可；
（3）分點(diǎn)P位于y軸左側(cè)和右側(cè)兩種情況討論即可得到重疊部分的面積．
試題解析：（1）（﹣3，4）；
（2）設(shè)PA=t，OE=l
由∠DAP=∠POE=∠DPE=90°得△DAP∽△POE
∴
∴l(xiāng)=﹣
∴當(dāng)t=時(shí)，l有最大值
即P為AO中點(diǎn)時(shí)，OE的最大值為；
（3）存在．
①點(diǎn)P點(diǎn)在y軸左側(cè)時(shí)，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣4，0）
由△PAD∽△OEG得OE=PA=1
∴OP=OA+PA=4
∵△ADG∽△OEG
∴AG：GO=AD：OE=4：1
∴AG=，
∴重疊部分的面積=；
②當(dāng)P點(diǎn)在y軸右側(cè)時(shí)，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，0），
此時(shí)重疊部分的面積為.
考點(diǎn): 二次函數(shù)綜合題．