Question

【題目】（模型建立）

（1）如圖1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直線ED經(jīng)過點(diǎn)C，過A作AD⊥ED于點(diǎn)D，過B作BE⊥ED于點(diǎn)E．

求證：△BEC≌△CDA；

（模型應(yīng)用）

（2）① 已知直線l1：y＝x＋8與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A、B，將直線l1繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45至直線l2，如圖2，求直線l2的函數(shù)表達(dá)式；

② 如圖3，長(zhǎng)方形ABCO，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8，－6），點(diǎn)A、C分別在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)P是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D是直線y＝－3x＋6上的動(dòng)點(diǎn)且在y軸的右側(cè)．若△APD是以點(diǎn)D為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①y=-7x-42；② (2,0）或（5，-9）

【解析】

（1）根據(jù)△ABC為等腰直角三角形，AD⊥ED，BE⊥ED，可判定△ACD≌△CBE；

（2）①過點(diǎn)B作BC⊥AB，交l2于C，過C作CD⊥y軸于D，根據(jù)△CBD≌△BAO，得出BD=AO=6，CD=OB=8，求得C（-8，14），最后運(yùn)用待定系數(shù)法求直線l2的函數(shù)表達(dá)式；②根據(jù)△APD是以點(diǎn)D為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，當(dāng)點(diǎn)D是直線y=-3x+6上的動(dòng)點(diǎn)且在y軸的右側(cè)時(shí)，分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)D在矩形AOCB的內(nèi)部或邊上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)D在矩形AOCB的外部時(shí)，設(shè)D（x，-3x+6），分別根據(jù)△ADE≌△DPF，得出AE=DF，據(jù)此列出方程進(jìn)行求解即可．

解：（1）證明：如圖1，∵△ABC為等腰直角三角形，
∴CB=CA，∠ACD+∠BCE=90°，
又∵AD⊥ED，BE⊥ED，
∴∠D=∠E=90°，∠EBC+∠BCE=90°，
∴∠ACD=∠EBC，
在△ACD與△CBE中，

∴△ACD≌△CBE（AAS）；

（2）①如圖2，過點(diǎn)B作BC⊥AB，交l2于C，過C作CD⊥y軸于D，

∵∠BAC=45°，
∴△ABC為等腰直角三角形，
由（1）可知：△CBD≌△BAO，
∴BD=AO，CD=OB，
∵直線l1：y＝x＋8中，若y=0，則x=-6；若x=0，則y=8，
∴A（-6，0），B（0，8），
∴BD=AO=6，CD=OB=8，
∴OD=8+6=14，
∴C（-8，14），
設(shè)l2的解析式為y=kx+b，則

解得

∴l2的解析式：y=-7x-42；

②D（2，0），（5，-9）
理由：當(dāng)點(diǎn)D是直線y=-3x+6上的動(dòng)點(diǎn)且在y軸右側(cè)時(shí)時(shí)，分兩種情況：
當(dāng)點(diǎn)D在矩形AOCB的內(nèi)部或邊上時(shí)，如圖，過D作x軸的平行線EF，交直線OA于E，交直線BC于F，

設(shè)D（x，-3x+6），則OE=3x-6，AE=6-（3x-6）=12-3x，DF=EF-DE=8-x，
由（1）可得，△ADE≌△DPF，則DF=AE，
即：12-3x=8-x，
解得2x=4，x=2，
∴-3x+6=0，
∴D（2，0），即點(diǎn)D為直線y=-3x+6與x軸交點(diǎn)，
此時(shí)，PF（PC）=ED（OD）=2，AO=6=CD，符合題意；

準(zhǔn)確圖形如下：

當(dāng)點(diǎn)D在矩形AOCB的外部時(shí)，如圖，過D作x軸的平行線EF，交直線OA于E，交直線BC于F，

設(shè)D（x，-3x+6），則OE=3x-6，AE=OE-OA=3x-6-6=3x-12，DF=EF-DE=8-x，
同理可得：△ADE≌△DPF，則AE=DF，
即：3x-12=8-x，
解得x=5，
∴-3x+6=-9，
∴D（5，-9），
此時(shí)，ED=PF=5，AE=BF=DF=3，BP=PF-BF=5-3=2 ＜6，點(diǎn)P在線段BC上，符合題意．