Question

如圖，OA和OB是⊙O的半徑，并且OA⊥OB，P是OA上任一點，BP的延長線交⊙O于點Q，過點Q的⊙O的切線交OA延長線于點R．
（Ⅰ）求證：RP=RQ；
（Ⅱ）若OP=PA=1，試求PQ的長．

Answer 1

分析：（I）要證明RP=RQ，需要證明∠PQR=∠RPQ，連接OQ，則∠OQR=90°；根據(jù)OB=OQ，得∠B=∠OQB，再根據(jù)等角的余角相等即可證明；
（II）延長AO交圓于點C，首先根據(jù)勾股定理求得BP的長，再根據(jù)相交弦定理求得QP的長即可．

解答：（Ⅰ）證法一：
連接OQ；
∵RQ是⊙O的切線，
∴∠OQB+∠BQR=90°．
∵OA⊥OB，
∴∠OPB+∠B=90°．
又∵OB=OQ，
∴∠OQB=∠B．
∴∠PQR=∠BPO=∠RPQ．
∴RP=RQ．
證法二：
作直徑BC，連接CQ；∵BC是⊙O的直徑，
∴∠B+∠C=90°．
∵OA⊥OB，
∴∠B+∠BPO=90°．
∴∠C=∠BPO．
又∠BPO=∠RPQ，
∴∠C=∠RPQ．
又∵RQ為⊙O的切線，
∴∠PQR=∠C．
∴∠PQR=∠RPQ．
∴RP=RQ．

（Ⅱ）解法一：
作直徑AC，
∵OP=PA=1，
∴PC=3．
由勾股定理，得BP=

12+22

=

5

由相交弦定理，得PQ•PB=PA•PC．
即PQ×

5

=1×3，
∴PQ=

3 5

5

．
解法二：
作直徑AE，過R作RF⊥BQ，垂足為F，
設(shè)RQ=RP=x；
由切割線定理，得：x²=（x-1），（x+3）
解得：x=

3

2

，
又由△BPO∽△RPF得：

PF

OP

=

PR

BP

，
∴PF=

3 2

5

×1=

3 5

10

，
由等腰三角形性質(zhì)得：PQ=2PF=

3 5

5

．

點評：本題考查了切線的性質(zhì)、弦切角定理、等腰三角形的性質(zhì)、相交弦定理等知識的綜合應(yīng)用，考點較多，難度適中．