Question

【題目】如圖，拋物線與直線交于A，B兩點(diǎn)，交x軸于D，C兩點(diǎn)，已知，．

求拋物線的函數(shù)表達(dá)式并寫(xiě)出拋物線的對(duì)稱(chēng)軸；

在直線AB下方的拋物線上是否存在一點(diǎn)E，使得的面積最大？如果存在，求出E點(diǎn)坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接PA，過(guò)點(diǎn)P作交y軸于點(diǎn)Q，問(wèn)：是否存在點(diǎn)P，使得以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）當(dāng)時(shí)，的面積有最大值4，此時(shí)E點(diǎn)坐標(biāo)為（3）滿(mǎn)足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為或或或

【解析】

利用待定系數(shù)法求拋物線解析式，根據(jù)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸方程求拋物線的對(duì)稱(chēng)軸；
先確定直線AB的解析式為，再解方程組得，作軸交直線AB于F，如圖1，設(shè)，則，則，利用三角形面積公式得到，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解決問(wèn)題；
設(shè)，則，先利用勾股定理的逆定理判斷為直角三角形，利用相似三角形的判定方法，當(dāng)，∽，則，所以；當(dāng)，∽，即，所以，然后分別解關(guān)于t的絕對(duì)值方程即可得到P點(diǎn)坐標(biāo)．

把，代入得，解得，

拋物線解析式為；

拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線；

存在．

把代入得，

直線AB的解析式為，

解方程組得或，則，

作軸交直線AB于F，如圖1，

設(shè)，則，

，

，

當(dāng)時(shí)，的面積有最大值4，此時(shí)E點(diǎn)坐標(biāo)為；

設(shè)，則，

，，，

，，，

，

為直角三角形，

，

當(dāng)，∽，

即，

，

解方程得舍去，，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為；

解方程得舍去，，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為；

當(dāng)，∽，

即，

，

解方程得舍去，，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為；

解方程得舍去，，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為；

綜上所述，滿(mǎn)足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為或或或