Question

【題目】如圖1，將一張矩形紙片ABCD沿著對(duì)角線BD向上折疊，頂點(diǎn)C落到點(diǎn)E處，BE交AD于點(diǎn)F．

（1）求證：△BDF是等腰三角形；

（2）如圖2，過點(diǎn)D作DG∥BE，交BC于點(diǎn)G，連接FG交BD于點(diǎn)O．

①判斷四邊形BFDG的形狀，并說明理由；

②若AB=6，AD=8，求FG的長(zhǎng)為 ．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①四邊形BFDG是菱形．理由見解析；②FG=．

【解析】

（1）證明△BDF是等腰三角形，可證明BF=DF，可通過證明∠EBD=∠FDB實(shí)現(xiàn)，利用折疊的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)解決．

（2）①先判斷四邊形BFDG是平行四邊形，再由（1）BF=FD得到結(jié)論；②要求FG的長(zhǎng)，可先求出OF的長(zhǎng)，在Rt△BFO中，BO可由AB、AD的長(zhǎng)及菱形的性質(zhì)求得，解決問題的關(guān)鍵是求出BF的長(zhǎng)．在Rt△BFA中，知AB=6、AF+BF=AD=8，可求出BF的長(zhǎng)，問題得以解決．

（1）∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠ADB=∠CBD，

由折疊的性質(zhì)可知：∠EBD=∠CBD，

∴ADB=∠EBD，

∴BF=FD

∴△BDF是等腰三角形

（2）①四邊形BFDG是菱形．

理由：∵FD∥BG，DG∥BE，

∴四邊形BFDG是平行四邊形

又∵BF=DF，

∴四邊形BFDG是菱形

②設(shè)AF=x，則FD=8-x，

∴BF=FD=8-x

在Rt△ABF中，

62+x2=（8-x）2，

解得：x=，

∴FD=8-=，

在Rt△ABD中，∵AB=6，AD=8，

∴BD=10

∵四邊形BFDG是菱形，

∴OD=BD=5，FO=FG，FG⊥BD，

在Rt△ODF中，

∵FO2+DO2=FD2，即FO2+52=（）2，

∴FO=，

∴FG=2FO=．

故答案為：．