Question

某公司生產(chǎn)的某種時(shí)令商品每件成本為20元，經(jīng)過在本地市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，這種商品在未來40天內(nèi)的日銷售量m（件）與時(shí)間t（天）的關(guān)系如下表：

時(shí)間t（天）	1	3	6	10	36	…
日銷售量m（件）	94	90	84	76	24	…

未來40天內(nèi)，前20天每天的價(jià)格y₁（元/件）與時(shí)間t（天）的函數(shù)關(guān)系式為y1=

1

4

t+25（1≤t≤20且t為整數(shù)），后20天每天的價(jià)格y₂（元/件）與時(shí)間t（天）的函數(shù)關(guān)系式為y2=-

1

2

t+40（21≤t≤40且t為整數(shù)）．下面我們就來研究銷售這種商品的有關(guān)問題：
（1）認(rèn)真分析上表中的數(shù)據(jù)，用所學(xué)過的一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的知識確定一個(gè)滿足這些數(shù)據(jù)的m（件）與t（天）之間的關(guān)系式；
（2）請預(yù)測本地市場在未來40天中哪一天的日銷售利潤最大，最大日銷售利潤是多少？
（3）在第30天，該公司在外地市場的銷量比本地市場的銷量增加a%還多30件，由于運(yùn)輸?shù)仍�因，該商品每件成本比本地增�?.2a%少5元，在銷售價(jià)格相同的情況下當(dāng)日兩地利潤持平，請你參考以下數(shù)據(jù)，通過計(jì)算估算出a的整數(shù)值．
（參考數(shù)據(jù)：

29

≈5.39，

30

≈5.48，

31

≈5.57，

32

≈5.66，

33

≈5.74）

Answer 1

分析：（1）通過觀察表格中的數(shù)據(jù)日銷售量與時(shí)間t是均勻減少的，所以確定m與t是一次函數(shù)關(guān)系，利用待定系數(shù)法即可求出函數(shù)關(guān)系式；
（2）分前20天和后20天分別討論：根據(jù)日銷售量、每天的價(jià)格及時(shí)間t可以列出銷售利潤W關(guān)于t的二次函數(shù)，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出哪一天的日銷售利潤最大，最大日銷售利潤是多少；
（3）由于在第30天，利用（1）中結(jié)論和已知條件可以求出本地的利潤，也可以根據(jù)該公司在外地市場的銷量比本地市場的銷量增加a%還多30件，由于運(yùn)輸?shù)仍�因，該商品每件成本比本地增�?.2a%少5元，可以用a列出外地銷售利潤，然后根據(jù)在銷售價(jià)格相同的情況下當(dāng)日兩地利潤持平可以列出關(guān)于a的方程，解方程即可求解．

解答：解：（1）∵根據(jù)表格知道日銷售量與時(shí)間t是均勻減少的，
∴確定m與t是一次函數(shù)關(guān)系，設(shè)函數(shù)關(guān)系式為：m=kt+b，
∵當(dāng)t=1，m=94；當(dāng)t=3，m=90，
∴

94=k+b 90=3k+b

，
解之得：

k=-2 b=96

，
∴m=-2t+96；

（2）前20天：
∵每天的價(jià)格y（元）與時(shí)間t天的函數(shù)關(guān)系式為y=

1

4

t+25，
而商品每件成本為20元，
∴每件獲取的利潤為（

1

4

t+25-20）=（

1

4

t+5）元，
又日銷售量y（件）與時(shí)間t（天）的函數(shù)關(guān)系式為：y=-2t+96，
故：前20天每天獲取的利潤：
P=（

1

4

t+5）（-2t+96）
=-

1

2

t²+14t+480
∴P=-

1

2

（t-14）²+578 （1≤t≤20）
根據(jù)二次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)可知：t=14時(shí)，日獲利潤最大，且為578元；

后20天：
每天的價(jià)格y（元）與時(shí)間t天的函數(shù)關(guān)系式為y=-

1

2

t+40，
而商品每件成本為20元，
故每件獲取的利潤為（-

1

2

t+40-20）=（-

1

2

t+20）元，
又日銷售量y（件）與時(shí)間t（天）的函數(shù)關(guān)系式為：y=-2t+96，
故：后20天每天獲取的利潤
  P=（-

1

2

t+20）（-2t+96）
=t²-88t+1920，
∴P=（t-44）²-16   （21≤t≤40），
根據(jù)二次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)可知：
當(dāng)t=21時(shí)，日獲利潤最大，且為513元
綜合以上：t=14時(shí)，日獲利潤最大，且為578元；
 
（3）在第30天，本地的銷售量為m=-2×30+96=36，銷售價(jià)格為：y=-

1

2

×30+40=25，
依題意得公司在外地市場的銷量為：36×（1+a%）+30，
依題意得：36×（25-20）=[36×（1+a%）+30][25-20（1+0.2a%）+5]，
整理得：3（a%） ²-2a%-10=0，
解得：a%=

1± 31

3

，則a%₁=

1+ 31

3

=

1+5.57

3

≈219%，a%₂=

1- 31

3

＜0（不合題意舍去），
故a≈219．

點(diǎn)評：此題分別考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，一元二次方程的應(yīng)用等知識，解題的關(guān)鍵 首先讀懂題目，正確把握題目的數(shù)量關(guān)系，根據(jù)數(shù)量關(guān)系分別列出函數(shù)關(guān)系式和一元二次方程解決問題．