Question

（2011•廣元）如圖，AB是⊙O的直徑，BC切⊙O于點B，連接CO并延長交⊙O于點D、E，連接AD并延長交BC于點F．
（1）試判斷∠CBD與∠CEB是否相等，并證明你的結論；
（2）求證：=；
（3）若BC=AB，求tan∠CDF的值．

Answer 1

解：（1）∠CBD與∠CEB相等，
證明：∵BC切⊙O于點B，
∴∠CBD=∠BAD，
∵∠BAD=∠CEB，
∴∠CEB=∠CBD，
（2）證明：∵∠C=∠C，∠CEB=∠CBD，
∴∠EBC=∠BDC，
∴△EBC∽△BDC，
∴，
（3）∵AB、ED分別是⊙O的直徑，
∴AD⊥BD，即∠ADB=90°，
∵BC切⊙O于點B，
∴AB⊥BC，
∵BC=，
∴，
設BC=3x，AB=2x，
∴OB=OD=x，
∴OC=，
∴CD=（﹣1）x，
∵AO=DO，
∴∠CDF=∠A=∠DBF，
∴△DCF∽△BCD，
∴，
∵tan∠DBF==，
∴tan∠CDF=．

略