Question

【題目】如圖所示，已知拋物線(xiàn)P：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸交于A，B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在x軸的正半軸上)，與y軸交于點(diǎn)C，矩形DEFG的一條邊DE在線(xiàn)段AB上，頂點(diǎn)F，G分別在線(xiàn)段BC，AC上，拋物線(xiàn)P上的部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)如下.

(1)求A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)若點(diǎn)D的坐標(biāo)為(m，0)，矩形DEFG的面積為S，求S與m的函數(shù)關(guān)系式，并指出m的取值范圍；

(3)當(dāng)矩形DEFG的面積S最大時(shí)，連接DF并延長(zhǎng)至點(diǎn)M，使FM＝k·DF，若點(diǎn)M不在拋物線(xiàn)P上，求k的取值范圍；

(4)若點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1，0)，求矩形DEFG的面積．

Answer 1

【答案】（1）A(2，0)，B(－4，0)，C(0，－4)；（2）S矩形DEFG=12m－6m2(0＜m＜2)；（3）k的取值范圍是k≠且k＞0；（4）S矩形DEFG＝6．

【解析】試題分析：（1）可任選三組坐標(biāo)，用待定系數(shù)法即可求出拋物線(xiàn)P的解析式．然后根據(jù)拋物線(xiàn)P的解析式即可得出A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）求矩形的面積需知道矩形的長(zhǎng)和寬，可先在直角三角形AOC中，根據(jù)AD，OA，DG，CD的比例關(guān)系式，用m表示出DG的長(zhǎng)，同理可在直角三角形BCO中表示出OE的長(zhǎng)，進(jìn)而可根據(jù)ED=EO+OD得出ED的長(zhǎng)，然后由矩形的面積公式即可得出S與m的函數(shù)關(guān)系式；

（3）根據(jù)（2）的函數(shù)關(guān)系式即可得出S的最大值及對(duì)應(yīng)的m的值．進(jìn)而可得出D，E，F，G的坐標(biāo)．如果設(shè)DF的延長(zhǎng)線(xiàn)交拋物線(xiàn)于N點(diǎn)，那么可先求出FN與DF的比例關(guān)系．如果過(guò)N作x軸的垂線(xiàn)設(shè)垂足為H，那么我們可得出EF：DF=DF：DN，而EF，DF均為F，N點(diǎn)的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值，因此要先求出N點(diǎn)的縱坐標(biāo)，可先根據(jù)D、F的坐標(biāo)求出直線(xiàn)DF的解析式，然后聯(lián)立直線(xiàn)DF的解析式與拋物線(xiàn)P的解析式求出N點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)上述比例關(guān)系求出FN、DF的比例關(guān)系，如果求出此時(shí)FN=k1DF，那么由于M不在拋物線(xiàn)上，因此k的取值范圍就是k＞0，且k≠k1．

（4）由，AD=1，AO=2，OC=4，得到DG=2．又由，AB=6，CP=2，OC=4，得到FG=3，從而得到結(jié)論．

試題解析：解：（1）設(shè)y=ax2+bx+c（a≠0），任取x，y的三組值代入，得： ，解得： ，∴解析式為： ，令y=0，解得x1=﹣4，x2=2；

令x=0，得y=﹣4，∴A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A（2，0），B（﹣4，0），C（0，﹣4）．

（2）由題意得： ，而AO=2，OC=4，AD=2﹣m，故DG=4﹣2m，又，EF=DG，得BE=4﹣2m，∴DE=3m，∴SDEFG=DGDE=（4﹣2m）3m=12m﹣6m2（0＜m＜2）．

（3）∵SDEFG=﹣6m2+12m=﹣6（m﹣1）2+6，（0＜m＜2），∴m=1時(shí)，矩形的面積最大，且最大面積是6．

當(dāng)矩形面積最大時(shí)，其頂點(diǎn)為D（1，0），G（1，﹣2），F（﹣2，﹣2），E（﹣2，0）。設(shè)直線(xiàn)DF的解析式為y=kx+b，易知，k=，b=﹣，∴。又因?yàn)閽佄锞�(xiàn)P的解析式為： ，令，解得：x=．

設(shè)射線(xiàn)DF與拋物線(xiàn)P相交于點(diǎn)N，則N的橫坐標(biāo)為，過(guò)N作x軸的垂線(xiàn)交x軸于H，有，點(diǎn)M不在拋物線(xiàn)P上，即點(diǎn)M不與N重合時(shí)，此時(shí)k的取值范圍是k≠且k＞0．

（4）∵，而AD=1，AO=2，OC=4，則DG=2．又∵，而AB=6，CP=2，OC=4，則FG=3，∴SDEFG=DGFG=6．