Question

【題目】學(xué)習(xí)過(guò)三角函數(shù)，我們知道在直角三角形中，一個(gè)銳角的大小與兩條邊長(zhǎng)的比值相互唯一確定，因此邊長(zhǎng)與角的大小之間可以相互轉(zhuǎn)化．

類似的，可以在等腰三角形中建立邊角之間的聯(lián)系，我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角的正對(duì)（sad）．如圖，在△ABC中，AB=AC，頂角A的正對(duì)記作sadA，這時(shí)sad A=．容易知道一個(gè)角的大小與這個(gè)角的正對(duì)值也是相互唯一確定的．

根據(jù)上述對(duì)角的正對(duì)定義，解下列問(wèn)題：

（1）求sad60°的值；

（2）對(duì)于0°＜A＜180°，求∠A的正對(duì)值sadA的取值范圍．

（3）已知sinα=，其中α為銳角，試求sadα的值．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）0＜sadA＜2；（3） ．

【解析】

（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，求出底角的度數(shù)，判斷出三角形為等邊三角形，再根據(jù)正對(duì)的定義解答；
（2）求出0度和180度時(shí)等腰三角形底和腰的比即可；
（3）作出直角△ABC，構(gòu)造等腰三角形ACD，根據(jù)正對(duì)的定義解答．

（1）根據(jù)正對(duì)定義，

當(dāng)頂角為60°時(shí)，等腰三角形底角為60°，

則三角形為等邊三角形，

則sad60°= =1．

（2）當(dāng)∠A接近0°時(shí)，sadα接近0，

當(dāng)∠A接近180°時(shí)，等腰三角形的底接近于腰的二倍，故sadα接近2．

于是sadA的取值范圍是0＜sadA＜2．

（3）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，sin∠A= ．

在AB上取點(diǎn)D，使AD=AC，

作DH⊥AC，H為垂足，

令BC=3k，AB=5k，

則AD=AC= =4k，

又∵在△ADH中，∠AHD=90°，sin∠A= ．

∴DH=AD sin∠A= k，AH= = k．

則在△CDH中，CH=AC﹣AH= k，CD= = k．

于是在△ACD中，AD=AC=4k，CD= k．

由正對(duì)的定義可得：sadA= ，即sadα= ．