Question

【題目】在圖1﹣﹣圖4中，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為3，∠A=60°，點(diǎn)M是AD邊上一點(diǎn)，且DM=AD，點(diǎn)N是折線(xiàn)AB﹣BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．

（1）如圖1，當(dāng)N在BC邊上，且MN過(guò)對(duì)角線(xiàn)AC與BD的交點(diǎn)時(shí)，則線(xiàn)段AN的長(zhǎng)度為 ．

（2）當(dāng)點(diǎn)N在A(yíng)B邊上時(shí)，將△AMN沿MN翻折得到△A′MN，如圖2，

①若點(diǎn)A′落在A(yíng)B邊上，則線(xiàn)段AN的長(zhǎng)度為 ；

②當(dāng)點(diǎn)A′落在對(duì)角線(xiàn)AC上時(shí)，如圖3，求證：四邊形AM A′N(xiāo)是菱形；

③當(dāng)點(diǎn)A′落在對(duì)角線(xiàn)BD上時(shí)，如圖4，求的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①1；②見(jiàn)解析；③=．

【解析】

試題分析：（1）過(guò)點(diǎn)N作NG⊥AB于G，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理解決問(wèn)題；

（2）①利用線(xiàn)段中垂線(xiàn)的性質(zhì)得到AN=A′N(xiāo)，再由三角函數(shù)求得；

②利用菱形的性質(zhì)得到對(duì)角線(xiàn)平分每一組對(duì)角，得到∠DAC=∠CAB=30°，根據(jù)翻折的性質(zhì)得到AC⊥MN，AM=A′M，AN=A′N(xiāo)，∠AMN=∠ANM=60°，AM=AN，AM=A′M=AN=A′N(xiāo)，四邊形AM A′N(xiāo)是菱形；

③根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AB=AD，∠ADB=∠ABD=60°，求得∠NA′M=∠DMA′+∠ADB，證得A′M=AM=2，∠NA′M=∠A=60°，得到∠NA′B=∠DMA′，利用三角形相似得到結(jié)果．

解：（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)N作NG⊥AB于G，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AD∥BC，OD=OB，

∴==1，

∴BN=DM=AD=1，

∵∠DAB=60°，

∴∠NBG=60°

∴BG=，GN=，

∴AN===；

故答案為：；

（2）①當(dāng)點(diǎn)A′落在A(yíng)B邊上，則MN為AA′的中垂線(xiàn)，

∵∠DAB=60°AM=2，

∴AN=AM=1，

故答案為：1；

②在菱形ABCD中，AC平分∠DAB，

∵∠DAB=60°，

∴∠DAC=∠CAB=30°，

∵△AMN沿MN翻折得到△A′MN，

∴AC⊥MN，AM=A′M，AN=A′N(xiāo)，

∴∠AMN=∠ANM=60°，

∴AM=AN，

∴AM=A′M=AN=A′N(xiāo)，

∴四邊形AM A′N(xiāo)是菱形；

③在菱形ABCD中，AB=AD，

∴∠ADB=∠ABD=60°，

∴∠BA′M=∠DMA′+∠ADB，

∴A′M=AM=2，∠NA′M=∠A=60°，

∴∠NA′B=∠DMA′，

∴△DMA′∽△BA′N(xiāo)，

∴=，

∵MD=AD=1，A′M=2，

∴=．