Question

如圖，在平面直角坐標系xoy中，已知拋物線經(jīng)過點A(0，4)，B(1，0)，C(5，0)，拋物線對稱軸l與x軸相交于點M．

(1)求拋物線的解析式和對稱軸；

(2)設(shè)點P為拋物線(x＞5)上的一點，若以A、O、M、P為頂點的四邊形四條邊的長度為四個連續(xù)的正整數(shù)，請你直接寫出點P的坐標；

(3)連接AC．探索：在直線AC下方的拋物線上是否存在一點N，使△NAC的面積最大？若存在，請你求出點N的坐標；若不存在，請你說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)根據(jù)已知條件可設(shè)拋物線的解析式為　　1分 　　把點A(0，4)代入上式得：， 　　∴　　2分 　　∴拋物線的對稱軸是：　　3分 　　(2)由已知，可求得P(6，4)　　5分 　　提示：由題意可知以A、O、M、P為頂點的四邊形有兩條邊AO＝4、OM＝3，又知點P的坐標中，所以，MP＞2，AP＞2；因此以1、2、3、4為邊或以2、3、4、5為邊都不符合題意，所以四條邊的長只能是3、4、5、6的一種情況，在Rt△AOM中，，因為拋物線對稱軸過點M，所以在拋物線的圖象上有關(guān)于點A的對稱點與M的距離為5，即PM＝5，此時點P橫坐標為6，即AP＝6；故以A、O、M、P為頂點的四邊形的四條邊長度分別是四個連續(xù)的正整數(shù)3、4、5、6成立， 　　即P(6，4)　　5分 　　(注：如果考生直接寫出答案P(6，4)，給滿分2分，但考生答案錯誤，解答過程分析合理可酌情給1分) 　　(3)法一：在直線AC的下方的拋物線上存在點N，使△NAC面積最大． 　　設(shè)N點的橫坐標為，此時點N(，過點N作NG∥軸交AC于G；由點A(0，4)和點C(5，0)可求出直線AC的解析式為：；把代入得：，則G， 　　此時：NG＝－()， 　　＝　　7分 　　∴ 　　∴當時，△CAN面積的最大值為， 　　由，得：，∴N(，－3)　　8分 　　法二：提示：過點N作軸的平行線交軸于點E，作CF⊥EN于點F，則 　　(再設(shè)出點N的坐標，同樣可求，余下過程略)