Question

（2012•百色）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是直徑，直線l是經(jīng)過點(diǎn)C的切線，BD⊥l，垂足為D，且AC=8，sin∠ABC=

4

5

．
（1）求證：BC平分∠ABD；
（2）過點(diǎn)A作直線l的垂線，垂足為E（要求：用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法、證明），并求出四邊形ABDE的周長．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)OC⊥l，BD⊥l，得出OC∥BD，再利用等邊對等角以及平行線的性質(zhì)得出∠CBD=∠OBC進(jìn)而得出答案；
（2）以A為圓心大于A到l距離大于為半徑畫弧，進(jìn)而得出E點(diǎn)，再利用相似三角形的判定得出△ACB∽△CDB，進(jìn)而得出BD=3.6，CD=4.8，CE=4.8，AE=6.4，即可得出答案．

解答：（1）證明：如圖1，
連接OC，則OC⊥l．
又∵BD⊥l，
∴OC∥BD．
∴∠OCB=∠CBD．
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC．
∴∠CBD=∠OBC．
∴BC平分∠ABD．

（2）解：如圖2所示：
CE就是所求作的垂線．
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°．
∴sin∠ABC=

AC

AB

=

8

AB

=

4

5

．
∴AB=10．
∴BC=

AB2-AC2

=

102-82

=6．
∵∠CBD=∠OBC，∠ACB=∠CDB=90°，
∴△ACB∽△CDB．
∴

AB

CB

=

BC

BD

=

AC

CD

，
即

10

6

=

6

BD

=

8

CD

．
∴BD=3.6，CD=4.8．
同理可得CE=4.8，AE=6.4．
∴DE=CD+CE=4.8+4.8=9.6．
∴四邊形ABDE的周長=AB+DE+BD+AE=10+9.6+3.6+6.4=29.6．

點(diǎn)評：此題主要考查了圓的綜合應(yīng)用以及相似三角形的判定與性質(zhì)以及尺規(guī)作圖和切線的性質(zhì)等知識，利用已知得出△ACB∽△CDB是解題關(guān)鍵．