Question

（2013•宜賓）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點G，點F是CD上一點，且滿足

CF

FD

=

1

3

，連接AF并延長交⊙O于點E，連接AD、DE，若CF=2，AF=3．給出下列結(jié)論：
①△ADF∽△AED；②FG=2；③tan∠E=

5

2

；④S_△DEF=4

5

．
其中正確的是

①②④

（寫出所有正確結(jié)論的序號）．

Answer 1

分析：①由AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，根據(jù)垂徑定理可得：

AD

=

CD

，DG=CG，繼而證得△ADF∽△AED；
②由

CF

FD

=

1

3

，CF=2，可求得DF的長，繼而求得CG=DG=4，則可求得FG=2；
③由勾股定理可求得AG的長，即可求得tan∠ADF的值，繼而求得tan∠E=

5

4

；
④首先求得△ADF的面積，由相似三角形面積的比等于相似比，即可求得△ADE的面積，繼而求得S_△DEF=4

5

．

解答：解：①∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，
∴

AD

=

CD

，DG=CG，
∴∠ADF=∠AED，
∵∠FAD=∠DAE（公共角），
∴△ADF∽△AED；
故①正確；
②∵

CF

FD

=

1

3

，CF=2，
∴FD=6，
∴CD=DF+CF=8，
∴CG=DG=4，
∴FG=CG-CF=2；
故②正確；
③∵AF=3，F(xiàn)G=2，
∴AG=

AF2-FG2

=

5

，
∴在Rt△AGD中，tan∠ADG=

AG

DG

=

5

4

，
∴tan∠E=

5

4

；
故③錯誤；
④∵DF=DG+FG=6，AD=

AG2+DG2

=

21

，
∴S_△ADF=

1

2

DF•AG=

1

2

×6×

5

=3

5

，
∵△ADF∽△AED，
∴

S△ADF

S△AED

=（

AF

AD

）²，
∴

3 5

S△AED

=

3

7

，
∴S_△AED=7

5

，
∴S_△DEF=S_△AED-S_△ADF=4

5

；
故④正確．
故答案為：①②④．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、垂徑定理、勾股定理以及三角函數(shù)等知識．此題綜合性較強(qiáng)，難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．