Question

【題目】如圖1，圖2，△ABC是等邊三角形，D、E分別是AB、BC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A、B、C不重合），始終保持BD=CE.

（1）當(dāng)點(diǎn)D、E運(yùn)動(dòng)到如圖1所示的位置時(shí),求證：CD=AE.

（2）把圖1中的△ACE繞著A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到△ABF的位置（如圖2），分別連結(jié)DF、EF.

①找出圖中所有的等邊三角形(△ABC除外)，并對(duì)其中一個(gè)給予證明；

②試判斷四邊形CDFE的形狀,并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①圖中有2個(gè)正三角形，分別是△BDF，△AFE，證明見解析；②四邊形CDFE是平行四邊形，理由見解析.

【解析】（1）∵△ABC是正三角形，

∴BC=CA，∠B=∠ECA=60°. …………………………（2分）

又∵BD=CE，

∴△BCD≌△CAE. …………………………（3分）

∴CD=AE. …………………………（4分）

（2）① 圖中有2個(gè)正三角形，分別是△BDF，△AFE. ……………………（6分）

由題設(shè)，有△ACE≌△ABF，

∴CE=BF，∠ECA=∠ABF=60° …………………………（7分）

又∵BD=CE，

∴BD=CE=BF，∴△BDF是正三角形， ………………………（8分）

∵AF=AE，∠FAE=60°，

∴△AFE是正三角形.

② 四邊形CDFE是平行四邊形. …………………………（9分）

∵∠FDB=∠ABC =60°

∴FD∥EC.

又∵FD=FB=EC，

∴四邊形CDFE是平行四邊形. …………………………（11分）

（1）易證△BCD≌△CAE，即可得出；（2）①可得出BD=BF，∠ABF=60°；AF=AE，∠FAE=60°，所以，圖中有2個(gè)正三角形，分別是△BDF，△AFE；②可證得FD平行且等于EC，即可證得四邊形CDFE是平行四邊形．