Question

如圖，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠DAB=90°，且AD=DC；以A為圓心，AB為半徑作⊙A，交CA延長線于點E．
（1）求證：直線DC是⊙A的切線；
（2）若P是

BE

的中點，作PH⊥AE于H，若PH=5，sin∠ABE=

3

5

，求AB的長．

Answer 1

分析：（1）過A作AF⊥CD，交CD的延長線于F，AD∥BC，得到∴∠DAC=∠ACB，而DA=DC，則∠DAC=∠DCA，得到∠ACB=∠DCA，所以Rt△ABC≌Rt△AFC，則有AB=AF，即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)垂徑定理得到PA⊥BE，易證得∠AEB=∠HPA，而∠AEB=∠ABE，得∠ABE=∠HPA，則sin∠ABE=sin∠HPA=

AH

PA

=

3

5

，設(shè)AH=3x，PA=5x，PH=4x，而PH=5，即可求出x，從而求得AB=PA=5x．

解答：（1）證明：過A作AF⊥CD，交CD的延長線于F，如圖，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
而DA=DC，
∴∠DAC=∠DCA，
∴∠ACB=∠DCA，
在Rt△ABC和Rt△AFC中

∠AFC=∠ABC ∠FCA=∠ACB AC=AC

∴Rt△ABC≌Rt△AFC（AAS），
∴AB=AF，
∴CD是⊙A的切線；

（2）解：連PA，如圖，
∵P是弧BE的中點，
∴PA⊥BE
∴∠AEB=∠HPA，
而∠AEB=∠ABE，
∴∠ABE=∠HPA，
在Rt△HPA中，
∴sin∠ABE=sin∠HPA=

AH

PA

=

3

5

設(shè)AH=3x，PA=5x，PH=4x，
∴4x=5，
∴x=

5

4

，
∴PA=5x=

25

4

，
∴AB的長為

25

4

．

點評：本題考查了切線的判定：過半徑的外端點與半徑垂直的直線為圓的切線．也考查了垂徑定理、三角形全等的判定與性質(zhì)以及勾股定理．