Question

如圖甲，在正方形ABCD和正方形CGEF（CG＞BC）中，點(diǎn)B、C、G在同一直線上，M是AE的中點(diǎn)．
（1）探究線段MD、MF的位置及數(shù)量關(guān)系，并證明；
（2）將圖甲中的正方形CGEF繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使正方形CGEF的對(duì)角線CE恰好與正方形ABCD的邊BC在同一直線上，原問(wèn)題中的其他條件不變．（1）中得到的兩個(gè)結(jié)論是否發(fā)生變化？寫(xiě)出你的猜想并加以證明．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),正方形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）延長(zhǎng)DM交EF于點(diǎn)P，易證AM=EM，即可證明△ADM≌△EPM，可得DM=PM，根據(jù)△DFP是直角三角形即可解題；
（2）延長(zhǎng)DM交CE于點(diǎn)N，連接FN、DF，易證∠DAM=∠NEM，即可證明△ADM≌△ENM，可得EN=AD，DM=MN，可證CD=EN，即可證明△CDF≌△ENF，可得DF=NF，即可解題．

解答：證明：（1）延長(zhǎng)DM交EF于點(diǎn)P，

∵四邊形ABCD和四邊形FCGE是正方形，
∴AD∥EF，∠MAD=∠MEP．∠CFE=90°．
∴△DFP是直角三角形．
∵M(jìn)為AE的中點(diǎn)，
∴AM=EM．
∵在△ADM和△EPM中，

∠MAD=∠MEP AM=EM ∠AMD=∠EMP

，
∴△ADM≌△EPM（ASA），
∴DM=PM．
∴M是DP的中點(diǎn)．
∴MF=

1

2

DP=MD；
（2）延長(zhǎng)DM交CE于點(diǎn)N，連接FN、DF，

∵CE是正方形CFEG對(duì)角線，
∴∠FCN=∠CEF=45°，
∵∠DCE=90°，
∴∠DCF=45°，
∵AD∥BC，
∴∠DAM=∠NEM，
∵在△ADM和△ENM中，

∠DAM=∠NEM AM=EM ∠AMD=∠EMN

，
∴△ADM≌△ENM，（ASA）
∴EN=AD，DM=MN，
∵AD=CD，
∴CD=EN，
∵在△CDF和△ENF中，

CD=EN ∠DCF=∠CEF=45° CF=EF

，
∴△CDF≌△ENF，（SAS）
∴DF=NF，
∴FM=DM，F(xiàn)M⊥DM．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證△ADM≌△ENM和△CDF≌△ENF是解題的關(guān)鍵．