Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=﹣ x+1交y軸于點(diǎn)B，交x軸于點(diǎn)A，拋物線y=﹣ x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)B，與直線y=﹣ x+1交于點(diǎn)C（4，﹣2）．

（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖，橫坐標(biāo)為m的點(diǎn)M在直線BC上方的拋物線上，過點(diǎn)M作ME∥y軸交直線BC于點(diǎn)E，以ME為直徑的圓交直線BC于另一點(diǎn)D，當(dāng)點(diǎn)E在x軸上時(shí)，求△DEM的周長(zhǎng)．
（3）將△AOB繞坐標(biāo)平面內(nèi)的某一點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到△A1O1B1 ， 點(diǎn)A，O，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)A1 ， O1 ， B1 ， 若△A1O1B1的兩個(gè)頂點(diǎn)恰好落在拋物線上，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)A1的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

∵直線y=﹣ x+1交y軸于點(diǎn)B，

∴B（0，1），

∵拋物線y=﹣ x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)B和點(diǎn)C（4，﹣2）．

∴ ，

解得： ，

∴拋物線的解析式為：y=﹣ x2+ x+1

（2）

如圖1，

∵直線y=﹣ x+1交x軸于點(diǎn)A，

當(dāng)y=0時(shí)，﹣ x+1=0，

x= ，

∴A（ ，0），

∴OA= ，

在Rt△AOB中，

∵OB=1，

∴AB= ，

∴sin∠ABO= ，cos∠ABO= = ，

∵M(jìn)E∥x軸，

∴∠DEM=∠ABO，

∵以ME為直徑的圓交直線BC于另一點(diǎn)D，

∴∠EDM=90°，

∴DE=MEcos∠DEM= ME，

DM=MEsin∠DEM= ME，

當(dāng)點(diǎn)E在x軸上時(shí)，E和A重合，則m=OA= ，

當(dāng)x= 時(shí)，y=﹣ × + × +1= ；

∴ME= ，

∴DE= = ，DM= = ，

∴△DEM的周長(zhǎng)=DE+DM+ME= + + = ；

（3）

由旋轉(zhuǎn)可知：O1A1⊥x軸，O1B1⊥y軸，設(shè)點(diǎn)A1的橫坐標(biāo)為x，則點(diǎn)B1的橫坐標(biāo)為x+1，

∵O1A1⊥x軸，

∴點(diǎn)O1，A1不可能同時(shí)落在拋物線上，分以下兩種情況：

①如圖2，當(dāng)點(diǎn)O1，B1同時(shí)落在拋物線上時(shí)，

點(diǎn)O1，B1的縱坐標(biāo)相等，

∴﹣ =﹣ （x+1）2+ （x+1）+1，

解得：x= ，

此時(shí)點(diǎn)A1的坐標(biāo)為（ ， ），

②如圖3，當(dāng)點(diǎn)A1，B1同時(shí)落在拋物線上時(shí)，

點(diǎn)B1的縱坐標(biāo)比點(diǎn)A1的縱坐標(biāo)大 ，

﹣ =﹣ （x+1）2+ （x+1）+1，

解得：x=﹣ ，

此時(shí)A1（﹣ ， ），

綜上所述，點(diǎn)A1（ ， ）或（﹣ ， ）．

【解析】（1）利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式；（2）如圖1，A與E重合，根據(jù)直線y=﹣ x+1求得與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)可得OA的長(zhǎng)，由勾股定理得AB的長(zhǎng)，利用等角的三角函數(shù)得：sin∠ABO= ，cos∠ABO= = ，則可得DE和DM的長(zhǎng)，根據(jù)M的橫坐標(biāo)代入拋物線的解析式可得縱坐標(biāo)，即ME的長(zhǎng)，相加得△DEM的周長(zhǎng)；（3）由旋轉(zhuǎn)可知：O1A1⊥x軸，O1B1⊥y軸，設(shè)點(diǎn)A1的橫坐標(biāo)為x，則點(diǎn)B1的橫坐標(biāo)為x+1，所以點(diǎn)O1 ， A1不可能同時(shí)落在拋物線上，分以下兩種情況：①如圖2，當(dāng)點(diǎn)O1 ， B1同時(shí)落在拋物線上時(shí)，根據(jù)點(diǎn)O1 ， B1的縱坐標(biāo)相等列方程可得結(jié)論；②如圖3，當(dāng)點(diǎn)A1 ， B1同時(shí)落在拋物線上時(shí)，根據(jù)點(diǎn)B1的縱坐標(biāo)比點(diǎn)A1的縱坐標(biāo)大 ，列方程可得結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】利用圓周角定理和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知頂點(diǎn)在圓心上的角叫做圓心角;頂點(diǎn)在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個(gè)交點(diǎn)的角叫做圓周角;一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半；①旋轉(zhuǎn)后對(duì)應(yīng)的線段長(zhǎng)短不變，旋轉(zhuǎn)角度大小不變；②旋轉(zhuǎn)后對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離不變；③旋轉(zhuǎn)后物體或圖形不變，只是位置變了．