Question

【題目】在矩形ABCD中，AB=4cm，AD=6cm，延長AB到E，使BE=2AB，連接CE，動(dòng)點(diǎn)F從A出發(fā)以2cm/s的速度沿AE方向向點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)G從E點(diǎn)出發(fā)，以3cm/s的速度沿E→C→D方向向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止，設(shè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．

（1）當(dāng)t為何值時(shí)，F(xiàn)C與EG互相平分；
（2）連接FG，當(dāng)t＜ 時(shí)，是否存在時(shí)間t使△EFG與△EBC相似？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
（3）設(shè)△EFG的面積為y，求出y與t的函數(shù)關(guān)系式，求當(dāng)t為何值時(shí)，y有最大值？最大值是多少？

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖1，

∵AB=4，∴BE=2AB=8，

在Rt△BCE中，根據(jù)勾股定理得，CE=10，

由運(yùn)動(dòng)知，CG=3t﹣10，EF=AB+BE﹣2t=12﹣2t．

∵FC與EG互相平分，

∴點(diǎn)G必在CD邊上，

∴四邊形CEFG是平行四邊形，

∴CG=EF，

∴3t﹣10=12﹣2t，

∴t= ；

（2）解：∵當(dāng)t＜ 時(shí)，點(diǎn)G在CE上，

∵△EFG與△EBC相似，

當(dāng)△EFG∽△EBC時(shí)，

∴ ，

∴ ，

∴t= ，

當(dāng)△EGF∽△EBC時(shí)，

∴ ，

∴ ，

∴t= ；

（3）解：當(dāng)點(diǎn)G在CE上時(shí)，即：0＜t≤ ，如圖3，

過點(diǎn)G作GM⊥BE，

∴GM∥BC，

∴△EMG∽△EBC，

∴ ，

∴ ，

∴GM= t，

∴y=S△EFG= EFGM= ×（12﹣2t）× t=﹣ t2+ t=﹣ （t﹣3）2+ ；

當(dāng)t=3時(shí)，y最大= ．

當(dāng)點(diǎn)G在CD上時(shí)，即： ＜t≤ ，

y=S△EFG= EF×BC= （12﹣2t）×6=﹣6t+36．

即：t=3時(shí)，y最大= ．

【解析】（1）在Rt△BCE中，根據(jù)勾股定理得，由運(yùn)動(dòng)知，CG=3t﹣10，EF=AB+BE﹣2t=12﹣2t．CE=10，判斷出四邊形CEFG是平行四邊形，再用對(duì)邊相等建立方程即可得出結(jié)論；（2）分當(dāng)t＜ 時(shí)，點(diǎn)G在CE上與當(dāng)點(diǎn)G在CD上時(shí)，即： ＜t≤ 兩種情況，用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例建立方程即可；（3）分點(diǎn)G在CE上時(shí)，即：0＜t≤ 與點(diǎn)G在CD上時(shí)，即： ＜t≤ 兩種情況，用三角形的面積y=S△EFG= EFGM與y=S△EFG= EF×BC即可。
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解三角形的面積的相關(guān)知識(shí)，掌握三角形的面積=1/2×底×高，以及對(duì)勾股定理的概念的理解，了解直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2．