Question

【題目】如圖，拋物線y=-x2+bx+c，與軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)B坐標(biāo)為（6，0），點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，6），點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)，過點(diǎn)D作x軸的垂線，垂足為E，連接BD．

(Ⅰ)求拋物線的解析式及點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(Ⅱ)點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)F坐標(biāo)；

(Ⅲ)若點(diǎn)P是x軸上方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，以PB為邊作正方形PBFG，隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)，正方形的大小、位置也隨著改變，當(dāng)頂點(diǎn)F或G恰好落在y軸上時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)y=-x2+2x+6；；(Ⅱ)點(diǎn)的坐標(biāo)為或；(Ⅲ)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為或4或0．

【解析】

(Ⅰ)把B、C坐標(biāo)代入y=-x2+bx+c，解方程組求出b、c的值即可得拋物線解析式，把解析式變形為頂點(diǎn)式可得D點(diǎn)坐標(biāo)；(Ⅱ)過F作FG⊥x軸于點(diǎn)G，設(shè)F點(diǎn)坐標(biāo)為，利用△FBG∽△BDE，由相似三角形的性質(zhì)可得到關(guān)于F點(diǎn)坐標(biāo)的方程，即可求得F點(diǎn)的坐標(biāo)；(Ⅲ)設(shè)，分G在y軸上、F在y軸上、F在y軸上，P與C重合三種情況討論，根據(jù)正方形的性質(zhì)得出m的方程，求出m的值即可得P點(diǎn)橫坐標(biāo).

(Ⅰ)把點(diǎn)坐標(biāo)為（6，0），點(diǎn)坐標(biāo)為（0，6）代入拋物線y=-x2+bx+c

得，解得．

∴，

∴．

(Ⅱ)如圖1，過作軸于點(diǎn)，

設(shè)，則

∵，，

∴，

∴．

∵，，

∴，，，，

∴，

∴，

當(dāng)點(diǎn)在軸上方時(shí)，有，解得或(舍去)，

此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為．

當(dāng)點(diǎn)在軸下方時(shí)，有，解得或(舍去)，

此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為．

綜上可知點(diǎn)的坐標(biāo)為或．

(Ⅲ)設(shè)，有三種情況：

①如圖2，當(dāng)在軸上時(shí)，過P作軸于，作PM⊥x軸于，

∵四邊形是正方形，

∴．

∵，，

∴≌△PMB，

∴．

即，解得，(舍)．

∴的橫坐標(biāo)為．

②當(dāng)在軸上時(shí)，如圖3，過作PM⊥x軸于M，

同理得：△PMB≌，

∴OB=PM=6．

即，解得：(舍)，．

∴的橫坐標(biāo)為4．

③當(dāng)在軸上時(shí)，如圖4，此時(shí)與重合，此時(shí)的橫坐標(biāo)為0．

綜上所述，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為或4或0．