精英家教網(wǎng)如圖,以Rt△ABC的一直角邊AB為直徑作圓,交斜邊BC于P點,Q為AC的中點.
(1)求證:PQ與⊙O相切;
(2)若PQ=2cm,BP=6cm,求圓的半徑.
分析:(1)要證PQ是⊙O的切線,只要連接OP,AP,再證PQ⊥OP即可.
(2)先證明△ACP∽△BCA,根據(jù)相似三角形及切線的性質(zhì)求出AC,BC的長,再根據(jù)勾股定理求得圓的直徑,進一步得到半徑.
解答:精英家教網(wǎng)解:(1)連接OP,AP.
∵AB是⊙O的直徑,
∴∠APB=90°.
∴∠APC=90°.
∵Q為AC的中點
∴PQ=AQ=QC.(1分)
∴∠PAQ=∠APQ
∵OA=OP,
∴∠OAP=∠OPA
∴∠PAQ+∠OAP=∠APQ+∠OPA
即∠OAQ=∠OPQ
∵∠BAC=90°,
∴∠OPQ=90°,
∴PQ⊥OP
∴PQ與⊙O相切.(2分)

(2)∵PQ=2
∴AC=4.
∵∠BAC=90°,AP⊥BC于P,
∴△ACP∽△BCA.(3分)
AC
BC
=
PC
AC

∴AC2=PC•BC
∵BP=6,
∴16=PC(6+PC)
∴PC=2(負值舍去)(4分)
∴BC=8,
∴AB=
82-42
=4
3

∴所求圓的半徑為2
3
cm.(5分)
點評:本題考查了切線的判定.要證某線是圓的切線,已知此線過圓上某點,連接圓心與這點(即為半徑),再證垂直即可.同時考查了相似三角形及切線的性質(zhì),勾股定理的應(yīng)用.
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23、如圖,以Rt△ABC的直角邊AB為直徑的半圓O,與斜邊AC交于D,E是BC邊上的中點,連接ED、BD.
(1)求證:△ABC∽△BCD
(2)DE與半圓O相切嗎?若相切,請給出證明;若不相切,請說明理由.

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精英家教網(wǎng)如圖,以Rt△ABC各邊為直徑的三個半圓圍成兩個新月形(陰影部分),已知AC=3cm,BC=4cm.則新月形(陰影部分)的面積和是
 
cm2

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精英家教網(wǎng)已知,如圖,以Rt△ABC的斜邊AB為直徑作⊙0,D是BC上的點,且有弧AC=弧CD,連CD、BD,在BD延長線上取一點E,使∠DCE=∠CBD.
(1)求證:CE是⊙0的切線;
(2)若CD=2
5
,DE和CE的長度的比為
1
2
,求⊙O半徑.

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如圖,以Rt△ABC的直角邊AC為直徑作圓O交斜邊AB于點D,若劣弧CD=120°,則
BDAD
=
3
3

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(2009•黔南州)如圖,以Rt△ABC的直角邊AB為直徑的半圓O,與斜邊AC交于D,E是BC邊上的中點,連接DE.
(1)DE與半圓0是否相切?若相切,請給出證明;若不相切,請說明理由;
(2)若AD、AB的長是方程x2-16x+60=0的兩個根,求直角邊BC的長.

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