Question

【題目】如圖，中，點(diǎn)是邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過作直線，設(shè)交的平分線于點(diǎn)，交的外角平分線于點(diǎn)．

探究：線段與的數(shù)量關(guān)系并加以證明；

當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何處，且滿足什么條件時(shí)，四邊形是正方形？

當(dāng)點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四邊形會(huì)是菱形嗎？若是，請(qǐng)證明，若不是，則說明理由．

Answer 1

【答案】（1），理由見解析；（2）滿足為直角的直角三角形時(shí)，四邊形是正方形；（3）不可能，理由見解析.

【解析】

（1）探究問題，也就是證明問題，可以先假設(shè)，題中OE，OF可通過平行線，角平分線確定二者之間的關(guān)系．
（2）正方形的判定問題，AECF若是正方形，則必有對(duì)角線OA=OC，所以O為AC的中點(diǎn)，同樣在△ABC中，當(dāng)∠ACB=90°時(shí)，可滿足其為正方形．
（3）菱形的判定問題，若使菱形，則必有四條邊相等，對(duì)角線互相垂直．

解：．理由如下：

∵是的角平分線，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∴，

∵是的外角平分線，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∴，

∴；

滿足為直角的直角三角形時(shí)，四邊形是正方形．

∵當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到的中點(diǎn)時(shí)，，

又∵，

∴四邊形是平行四邊形，

∵，

∴，

∴，即，

∴四邊形是矩形．

已知，當(dāng)，則

，

∴，

∴四邊形是正方形．

解：不可能．

如圖所示，

∵平分，平分，

∴，

若四邊形是菱形，則，

但在中，不可能存在兩個(gè)角為，所以不存在其為菱形．