Question

【題目】在四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，設(shè)銳角∠AOB＝α，將△DOC按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到△D′OC′（0°＜旋轉(zhuǎn)角＜90°）連接AC′、BD′，AC′與BD′相交于點(diǎn)M．

(1)、當(dāng)四邊形ABCD為矩形時，如圖1．求證：△AOC′≌△BOD′．

(2)、當(dāng)四邊形ABCD為平行四邊形時，設(shè)AC＝kBD，如圖2．

①猜想此時△AOC′與△BOD′有何關(guān)系，證明你的猜想；

②探究AC′與BD′的數(shù)量關(guān)系以及∠AMB與α的大小關(guān)系，并給予證明．

Answer 1

【答案】(1)、證明過程見解析；(2)、①、△BOD′∽△AOC′；證明過程見解析式；②、AC′=kBD′，∠AMB＝α，證明過程見解析.

【解析】

試題分析：(1)、根據(jù)矩形的性質(zhì)得出OA=OC=OB=OD，根據(jù)旋轉(zhuǎn)可得OD=OD′，OC=OC′，∠D′OD=∠C′OC，根據(jù)平角得出∠BOD′=∠AOC′，從而說明三角形全等；(2)、根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出OB=OD，OA=OC，根據(jù)旋轉(zhuǎn)得出OD=OD′，OC=OC′，∠D′OD=∠C′OC，根據(jù)平角的性質(zhì)得出∠BOD′=∠AOC′，從而得出三角形相似；根據(jù)三角形相似的性質(zhì)進(jìn)行說明.

試題解析：(1)、在矩形ABCD中，∵AC=BD，OA=OC=AC，OB=OD=BD，

∴OA=OC=OB=OD，∵△D′OC′由△DOC旋轉(zhuǎn)得到，∴OD=OD′，OC=OC′，∠D′OD=∠C′OC，

∴OB=OD′=OA=OC′，∴180°－∠D′OD=180°－∠C′OC， 即∠BOD′=∠AOC′，

∴△BOD′≌△AOC′

(2)、①猜想：△BOD′∽△AOC′．

在平行四邊形ABCD中，OB=OD，OA=OC， ∵△D′OC′由△DOC旋轉(zhuǎn)得到，

∴OD=OD′，OC=OC′，∠D′OD=∠C′OC， ∴OB：OA=OD′：OC′，180°－∠D′OD=180°－∠C′OC，

∴∠BOD′=∠AOC′， ∴△BOD′∽△AOC′

②結(jié)論：AC′=kBD′，∠AMB＝α

∵△BOD′∽△AOC′，

∴，即AC′=kBD′

設(shè)BD′與AC相交于點(diǎn)N，∵△BOD′∽△AOC′，∴∠OBM=∠OAM，

在△ANM與△BNO中，又∵∠ANM=∠BNO， ∴180°－∠OAC′－∠ANM＝180°－∠OBD′－∠BNO，

即∠AMB＝∠AOB＝α．