Question

10．直線y=kx-4與x軸、y軸分別交于B、C兩點(diǎn)，且$\frac{OC}{OB}$=$\frac{4}{3}$．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)和k的值；
（2）若點(diǎn)A是第一象限內(nèi)的直線y=kx-4上的一動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△AOB的面積是12？
（3）在（2）成立的情況下，x軸上是否存在點(diǎn)P，使△POA是等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意求出點(diǎn)C的坐標(biāo)和點(diǎn)B的坐標(biāo)，運(yùn)用待定系數(shù)法求出k的值；
（2）根據(jù)三角形的面積公式求出點(diǎn)A的縱坐標(biāo)，根據(jù)函數(shù)解析式求出點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（3）分OA=PA、OA=PO和OP=PA三種情況，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)解答即可．

解答 解：（1）y=kx-4，
當(dāng)x=0時(shí)，y=-4，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-4），
∴OC=4，又$\frac{OC}{OB}$=$\frac{4}{3}$，
∴OB=3，即點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），
3k-4=0，
解得，k=$\frac{4}{3}$；
（2）作AD⊥OB于D，
由題意得，$\frac{1}{2}$×OB×AD=12，
解得，AD=8，即點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為8，
$\frac{4}{3}$x-4=8，
解得，x=9，
∴當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到（9，8）時(shí)，△AOB的面積是12；
（3）∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（9，8），
∴OA=$\sqrt{145}$，
當(dāng)OA=PA時(shí)，
∵AD⊥OP，OD=9，
∴OP=18，
點(diǎn)P的坐標(biāo)為（18，0），
當(dāng)OA=PO時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-$\sqrt{145}$，0）或（$\sqrt{145}$，0），
如圖2，當(dāng)OP=PA時(shí)，作PH⊥OA于H，
則△OHP∽△ODA，
∴$\frac{OH}{OD}$=$\frac{OP}{OA}$，即$\frac{\frac{\sqrt{145}}{2}}{9}$=$\frac{OP}{\sqrt{145}}$，
解得，OP=$\frac{145}{18}$，
點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\frac{145}{18}$，0），
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（18，0）或（-$\sqrt{145}$，0）或（$\sqrt{145}$，0）或（$\frac{145}{18}$，0）時(shí)，△POA是等腰三角形．

點(diǎn)評 本題考查的是一次函數(shù)知識的綜合運(yùn)用，掌握坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)、一次函數(shù)圖象上的坐標(biāo)特點(diǎn)、等腰三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，注意分情況討論思想的應(yīng)用．