Question

已知四邊形ABCD，點(diǎn)E是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E不與B、C兩點(diǎn)重合），線段BE的垂直平分線交對(duì)角線AC于點(diǎn)P，聯(lián)結(jié)DP，PE.

（1）如圖（1），若四邊形ABCD是正方形，猜想PD與PE的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

（2）若四邊形ABCD是矩形，（1）中的結(jié)論還成立嗎？如果成立，證明你的結(jié)論；如果不成立，用尺規(guī)作圖的方法舉反例證明（保留作圖痕跡，不寫作法）；

（3）若四邊形ABCD是矩形，AB＝6，cos∠ACD＝ ，設(shè)AP＝x，△PCE的面積為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.    

 

Answer 1

、解：（1）PE＝PD.

證明：如右圖，連結(jié)PB.

∵四邊形ABCD是正方形，∴B、D兩點(diǎn)關(guān)于AC軸對(duì)稱，∴PB＝PD.

∵點(diǎn)P在BE的垂直平分線上，∴PB＝PE，∴PE＝PD.      

（2）（1）中的猜想不成立. 如下圖中的P點(diǎn)：PE＝PE^/＜PD，即PE≠PD.

（3）如右圖，

∵四邊形ABCD是矩形，∴DC＝AB＝6，

∴∠ABC＝∠ADC＝90°.

∵cos∠ACD＝，∴AD＝8，AC＝10.

過P作PQ⊥BC，交BC于點(diǎn)Q，易得△CPQ∽△CAB

∴＝，即＝，解得PQ＝6－x；

由＝，可得＝，即＝

∴BQ＝x, ∴BE＝x, ∴CE＝x－8.

∴y＝EC×PQ＝(x－8)( 6－x)＝－x²+x－24.