Question

19．已知拋物線y=$\frac{5}{12}{x^2}$+bx+c與x軸相交，其中一個(gè)交點(diǎn)A（4，0），與y軸的交點(diǎn)B（0，2）．
（1）求b、c的值；
（2）如圖1，若將線段AB繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至AD，求D點(diǎn)的坐標(biāo)，并判斷D點(diǎn)是否在此拋物線上；
（3）在（2）中條件不變的情況下，如圖2，點(diǎn)P為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)作x軸的垂線分別交BD、BA于M、N，交拋物線于Q，當(dāng)P點(diǎn)從原點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿x軸向右移動(dòng)t秒時(shí)（0＜t＜4），此垂線也在向右平移．
①當(dāng)t為何值時(shí)，線段MQ的長(zhǎng)度最大；
②當(dāng)t為何值時(shí)，以B、P、Q為頂點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積與△BMN的面積相等．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得答案；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得AB與AD的關(guān)系，根據(jù)余角的性質(zhì)，可得∠BAO與∠D的關(guān)系，根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得AH，DH，可得D點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)滿足函數(shù)解析式，點(diǎn)在函數(shù)圖象上，可得答案；
（3）①根據(jù)平行于y軸的直線上兩點(diǎn)間的距離是較大的縱坐標(biāo)減較的縱坐標(biāo)，可得二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案；
②根據(jù)等底等高的三角形面積相等，可得MN=PQ，可得關(guān)于t的方程，根據(jù)解方程，可得答案．

解答 解：（1）將A、B點(diǎn)坐標(biāo)代入，得
$\left\{\begin{array}{l}0+0+c=2\\ \frac{20}{3}+4b+c=0\end{array}\right.$，
解得$b=-\frac{13}{6}，c=2$；
（2）過(guò)點(diǎn)D作DH⊥x 軸于點(diǎn)H，如圖1：
，
由旋轉(zhuǎn)90°，得
BA=AD，∠BAD=90°．
∵∠BAO+∠DAH=90°，∠DAH+∠D=90°，
∴∠BAO=∠D．
在△AOB和△DHA中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AOB=∠DHA}\\{∠BAO=∠ADH}\\{BA=AD}\end{array}\right.$，
△BOA≌△AHD（AAS），
AH=OB=2，DH=OA=4，
OH=OA+AH=6，
D（6，4），
當(dāng)x=6時(shí)，代入$y=\frac{5}{12}{x^2}-\frac{13}{6}x+2$中得y=4，所以D點(diǎn)在拋物線上；
（3）①BD：$y=\frac{1}{3}x+2$，所以當(dāng)x=t 時(shí)，${y_M}=\frac{1}{3}t+2$，${y_Q}=\frac{5}{12}{t^2}-\frac{13}{6}t+2$，
MQ=y_M-y_Q=$（\frac{1}{3}t+2）-$$（\frac{5}{12}{t^2}-\frac{13}{6}t+2）$=$-\frac{5}{12}{t^2}+\frac{5}{2}t$，
當(dāng)t=3時(shí)，MQ最大．
②S_△BQP=S_△BMN，就是QP=MN，以拋物線與x軸的另一交點(diǎn)（$\frac{6}{5}$，0）為界分類：
（Ⅰ）0＜t＜$\frac{6}{5}$，y_Q=y_M-y_N，$\frac{5}{12}{t^2}-\frac{13}{6}t+2=\frac{5}{6}t$，得$t=\frac{{18-2\sqrt{51}}}{5}$，
另一解$t=\frac{{18+2\sqrt{51}}}{5}$（舍去）；
（Ⅱ）$\frac{6}{5}$≤t＜4，-y_Q=y_M-y_N，$-（\frac{5}{12}{t^2}-\frac{13}{6}t+2）=\frac{5}{6}t$，方程無(wú)實(shí)數(shù)根；
綜上所述：得$t=\frac{{18-2\sqrt{51}}}{5}$，以B、P、Q為頂點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積與△BMN的面積相等．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；利用平行于y軸的直線上兩點(diǎn)間的距離是較大的縱坐標(biāo)減較小的縱坐標(biāo)得出二次函數(shù)是解題關(guān)鍵；利用等底等高的三角形面積相等得關(guān)于t的方程是解題關(guān)鍵．