Question

如圖，正方形ABCD（四個角都是直角，四條邊都相等）的邊長為1，AB，AD上各有一點P、Q，△APQ的周長為2，求∠PCQ．為了解決這個問題，我們在正方形外以BC和AB的延長線為邊作△CBE，使得△CBE≌△CDQ．
（1）△CBE可以看成是由△CDQ怎樣運動變化得到的？請你描述這一運動變化；
（2）圖中PQ與PE的長度是相等的．請你說明理由；
（3）請用（1）或（2）中的結論說明△PCQ≌△PCE；
（4）請用以上的結論，求∠PCQ的度數(shù)．

Answer 1

分析：（1）△CBE可以看成是由△CDQ旋轉得到的．
（2）易知AQ=1-DQ=1-BE，AP=1-BP，又有△APQ的周長為2，可求出PQ=PE．
（3）根據(jù)SSS判定△PCQ≌△PCE．
（4）利用△PCQ≌△PCE得出∠PCQ=∠PCE，又有∠BCE=∠QCD，得出∠PCQ的度數(shù)是∠DCB度數(shù)的一半．

解答：解：（1）△CBE可以看成是由△CDQ沿逆時針旋轉90°得到的．

（2）∵AQ=1-DQ=1-BE，AP=1-BP，
又∵AP+AQ+PQ=2，
∴1-BE+1-BP+PQ=2，即2-PE+PQ=2，
∴PE=PQ．

（3）∵PE=PQ，QC=EC，PC=PC，
∴△PCQ≌△PCE（SSS）；
（4）∵△PCQ≌△PCE，
∴∠PCQ=∠PCE，
又∵∠BCE=∠QCD，
∴∠QCD+∠PCB=∠PCQ，
又∵∠DCB=90°，
∴∠PCQ=

1

2

×90°=45°．

點評：本題考查了圖形的旋轉、全等三角形的判定、全等三角形的性質、正方形的性質等知識．