Question

如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，正方形OABC的邊長(zhǎng)為2cm，點(diǎn)A、C分別在y軸的負(fù)半軸和x軸的正半軸上，拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A、B．
（1）求拋物線的表達(dá)式．
（2）如果點(diǎn)P由點(diǎn)A開始沿AB邊以2cm/s的速度向點(diǎn)B移動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q由點(diǎn)B開始沿BC以1cm/s的速度向點(diǎn)C移動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．
①移動(dòng)開始后，是否存在某一時(shí)刻t，使得以O(shè)、A、P為頂點(diǎn)的三角形與△BPQ相似，若存在，請(qǐng)求出此時(shí)t的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．
②移動(dòng)開始后第t秒時(shí)，設(shè)S=PQ²（cm²），當(dāng)S取得最小值時(shí)，在拋物線上是否存在點(diǎn)R，使得以P、B、Q、R為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出R點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．
（3）若此拋物線上有一點(diǎn)D（3，），在拋物線的對(duì)稱軸上求點(diǎn)M，使得M到D、A的距離之差最大，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）∵正方形OABC的邊長(zhǎng)為2cm，
∴點(diǎn)A（0，-2），B（2，-2），
∴，
解得，
∴拋物線的表達(dá)式為y=x²-x-2；

（2）移動(dòng)t秒時(shí)，AP=2t，BP=2-2t，BQ=t，
①（i）OA與BP是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，∵以O(shè)、A、P為頂點(diǎn)的三角形與△BPQ相似，
∴=，
即=，
解得t=，
（ii）OA與BQ是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，∵以O(shè)、A、P為頂點(diǎn)的三角形與△BPQ相似，
∴=，
即=，
解得t=-1+，t=-1-（舍去），
綜上所述，當(dāng)t=或-1+時(shí)，以O(shè)、A、P為頂點(diǎn)的三角形與△BPQ相似；
②根據(jù)勾股定理，S=PQ²=BP²+BQ²=（2-2t）²+t²=5t²-8t+4，
所以，當(dāng)t=-=時(shí)，S有最小值，
此時(shí)BP=2-2t=2-2×=，BQ=t=，
（i）當(dāng)BP為對(duì)角線時(shí)，根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行且相等，
點(diǎn)R的橫坐標(biāo)為2t=，
縱坐標(biāo)為-（2+）=-，
此時(shí)，×（）²-×-2=--2=-≠-，
點(diǎn)R不在拋物線上，所以，此時(shí)不成立，
（ii）BQ為對(duì)角線時(shí)，根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行且相等，
點(diǎn)R的橫坐標(biāo)為2+=，
縱坐標(biāo)為-（2-）=-，
此時(shí)，×（）²-×-2=-4-2=-，
點(diǎn)R在拋物線上，
所以，點(diǎn)R的坐標(biāo)為（，-）；

（3）根據(jù)三角形三邊關(guān)系，|MA-MD|＜DA，
所以，當(dāng)點(diǎn)M為直線AD與對(duì)稱軸交點(diǎn)時(shí)，M到D、A的距離之差最大，
此時(shí)，設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b，
則，
解得，
所以，直線AD的解析式為y=x-2，
∵拋物線y=x²-x-2的對(duì)稱軸為x=-=1，
∴y=×1-2=-，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，-）．
分析：（1）根據(jù)正方形的四條邊都相等寫出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，然后代入拋物線解析式得到關(guān)于b、c的方程組，解方程組求出b、c的值即可得解；
（2）表示出AP、BP、BQ的長(zhǎng)，①然后分（i）OA與BP是對(duì)應(yīng)邊，（ii）OA與BQ是對(duì)應(yīng)邊兩種情況，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列出比例式求解即可；
②根據(jù)勾股定理表示出S，然后利用二次函數(shù)的最值問題確定出S取最小值時(shí)的t值，然后求出BP、BQ的值，再分（i）BP為對(duì)角線，（ii）BQ為對(duì)角線兩種情況，根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行且相等求出點(diǎn)R的坐標(biāo)，然后把點(diǎn)R的坐標(biāo)代入拋物線，如果點(diǎn)R在拋物線上則，存在，否則不存在；
（3）根據(jù)三角形的任意兩邊之差小于第三邊判斷出當(dāng)點(diǎn)M為拋物線對(duì)稱軸與直線AD的交點(diǎn)時(shí)，M到D、A的距離之差最大，然后利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式求出直線AD的解析式，再求兩直線的交點(diǎn)即可．
點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題型，主要涉及正方形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式（二次函數(shù)解析式與直線解析式），相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，分情況討論的思想，綜合性較強(qiáng)，難度較大，但只要仔細(xì)分析認(rèn)真求解，也不難解答．