Question

【題目】如圖，△ABC中，AB=AC，F為BC的中點，D為CA延長線上一點，∠DFE=∠B．

（1）求證：△CDF∽△BFE；

（2）若EF∥CD，求證：2CF2=ACCD．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析.

【解析】

（1）根據外角的性質得到∠EFB=∠FDC，由等腰三角形的性質得到∠C=∠B，證得△CDF∽△BFE；

（2）根據平行線的性質得到∠EFD=∠FDC，∠C=∠EFB，根據等腰三角形的性質得到∠B=∠C，等量代換得到∠FDC=∠C，推出△CDF∽△BCA，根據相似三角形的性質得到結論．

（1）證明：∵∠DFB=∠DFE+∠EFB=∠C+∠FDC，

∴∠EFB=∠FDC，

∵AB=AC，

∴∠C=∠B，

∴△CDF∽△BFE；

（2）∵EF∥CD，

∴∠EFD=∠FDC，

∵∠B=∠C，∠DEG=∠B，

∴∠FDC=∠C=∠B，

∴△CDF∽△BCA，

∴，

∵BC=2CF，DF=CF，

∴，

∴2CF2=ACCD．