Question

【題目】已知：如圖，把矩形OCBA放置于直角坐標(biāo)系中，OC=3，BC=2，取AB的中點(diǎn)M，連接MC，把△MBC沿x軸的負(fù)方向平移OC的長(zhǎng)度后得到△DAO．

（1）試直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）已知點(diǎn)B與點(diǎn)D在經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的拋物線上，點(diǎn)P在第一象限內(nèi)的該拋物線上移動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥x軸于點(diǎn)Q，連接OP．
①若以O(shè)、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△DAO相似，試求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②試問(wèn)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)T，使得|TO﹣TB|的值最大？

Answer 1

【答案】
（1）

解：依題意得：D（﹣ ，2）；

（2）

解：①∵OC=3，BC=2，

∴B（3，2）；

∵拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，

∴設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx （a≠0）

又拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（3，2）與點(diǎn)D（﹣ ，2）；

∴

解得：

∴拋物線的解析式為y= ；

∵點(diǎn)P在拋物線上，

∴設(shè)點(diǎn)P（x， ）；

1）、若△PQO∽△DAO，則 ， ，

解得：x1=0（舍去）或x2= ，

∴點(diǎn)P（ ）；

2）、若△OQP∽△DAO，則 ， ，

解得：x1=0（舍去）或x2= ，

∴點(diǎn)P（ ，6）；

②存在點(diǎn)T，使得|TO﹣TB|的值最大．

拋物線y= 的對(duì)稱軸為直線x= ，設(shè)拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為E，則點(diǎn)E（ ，0）；

∵點(diǎn)O、點(diǎn)E關(guān)于直線x= 對(duì)稱，

∴TO=TE

要使得|TO﹣TB|的值最大，

即是使得|TE﹣TB|的值最大，

根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊可知，當(dāng)T、E、B三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，|TE﹣TB|的值最大；

設(shè)過(guò)B、E兩點(diǎn)的直線解析式為y=kx+b（k≠0），

∴

解得：

∴直線BE的解析式為y= x﹣2；

當(dāng)x= 時(shí)，y=

∴存在一點(diǎn)T（ ，﹣1）使得|TO﹣TB|最大．

【解析】（1）由于M是AB的中點(diǎn)，即可得到AM= ，由此可求出M點(diǎn)的坐標(biāo)，將M點(diǎn)坐標(biāo)向左平移3個(gè)單位即可得到點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）①根據(jù)B、D的坐標(biāo)即可確定拋物線的解析式，設(shè)出P點(diǎn)的橫坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的解析式可得到P點(diǎn)縱坐標(biāo)的表達(dá)式；由于∠PQO=∠DAO=90°，若以O(shè)、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△DAO相似，則有兩種情況：1）、△PQO∽△DOA，2）、△OQP∽△DAO；根據(jù)上述兩種情況所得的不同比例線段，即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；②由于D、B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，若|TO﹣TB|的值最大，那么T點(diǎn)必為直線DO與拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn)，根據(jù)拋物線的解析式可求出其對(duì)稱軸方程，根據(jù)D點(diǎn)的坐標(biāo)可求得直線DO的解析式，聯(lián)立兩個(gè)函數(shù)的解析式，即可求得T點(diǎn)的坐標(biāo)．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開口方向2、對(duì)稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)；增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減�。粚�(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減小．