Question

19．如圖，等邊△ABC中，AB=2，D為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且DA=DB，E為△ABC外一點(diǎn)，BE=AB，且∠EBD=∠CBD，連接DE，CE，則下列結(jié)論：①∠DAC=∠DBC；②BE⊥AC；③∠DEB=30°；④若EC∥AD，則S_△EBC=1，其中正確的有①③④．

Answer 1

分析 連接DC，證△ACD≌△BCD得出①∠DAC=∠DBC；再證△BED≌△BCD，得出∠BED=∠BCD=30°；其它兩個條件運(yùn)用假設(shè)成立推出答案即可．

解答 證明：連接DC，

∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC=AC，∠ACB=60，
∵DB=DA，DC=DC，
在△ACD與△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{DB=DA}\\{DC=DC}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCD  （SSS），
∴∠BCD=∠ACD=$\frac{1}{2}$∠ACB=30°，
∵BE=AB，
∴BE=BC，
∵∠DBE=∠DBC，BD=BD，
在△BED與△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=BC}\\{∠DBE=∠DBC}\\{BD=BD}\end{array}\right.$，
∴△BED≌△BCD  （SAS），
∴∠BED=∠BCD=30°．
由此得出①③正確．
∵EC∥AD，
∴∠DAC=∠ECA，
∵∠DBE=∠DBC，∠DAC=∠DBC，
∴設(shè)∠ECA=∠DBC=∠DBE=∠1，
∵BE=BA，
∴BE=BC，
∴∠BCE=∠BEC=60°+∠1，
在△BCE中三角和為180°，
∴2∠1+2（60°+∠1）=180°
∴∠1=15°，
∴∠CBE=30，這時BE是AC邊上的中垂線，結(jié)論②才正確．
BE邊上的高位$\frac{1}{2}$BC=1，
∴S△EBC=1，結(jié)論④是正確的．
故答案為：①③④

點(diǎn)評 本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等．