Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，AB=2，∠BAC=30°，點C在⊙O上，過點C與⊙O相切的直線交AB的延長線于點D．
（1）求線段BD的長；
（2）若E為BC弧的中點，P為AD上一個動，求：PC+PE的最小值．

Answer 1

分析：（1）連接BC，OC由題意可知DC⊥OC，∠CBA=60°，推出∠BCD=∠CDB=30°，OC=BC=BD=1．
（2）以AB為對稱軸在下半圓弧上找出點E的對稱點F，連接CF，CF長，就是PC+PE的最小值．

解答：解：（1）連接BC，OC；
∵CD為過點C與⊙O相切的直線，
∴DC⊥OC，
又∵OC=OB，∠ABC=60°，
∴∠BCD=∠CDB=30°，
∴OC=BC=BD=1．

（2）以AB為對稱軸在下半圓弧上找出點E的對稱點F，連接CF，CF長，就是PC+PE的最小值．
∵弧BC所對圓心角為60°，弧CF為弧BC長的

3

2

，
∴弧CF所對的圓心角為90°，
∴弦CF的長為

2

，
∴PC+PE的最小值為

2

．

點評：本題考查了切線性質(zhì)和同一圓的弧和所對圓心角的性質(zhì)，關(guān)鍵為找到兩線段和最小時點P的位置．