Question

如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)F在線段CD上運(yùn)動(dòng)，AE平分∠BAF交BC邊于點(diǎn)E．
（1）求證：AF=DF+BE．
（2）設(shè)DF=x（0≤x≤1），△ADF與△ABE的面積和S是否存在最大值？若存在，求出此時(shí)x的值及S．若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）證明：如圖，
延長(zhǎng)CB至點(diǎn)G，使得BG=DF，連接AG．因?yàn)锳BCD是正方形，所以在Rt△ADF和Rt△ABG中，AD=AB，∠ADF=∠ABG=90°，DF=BG．
∴Rt△ADF≌Rt△ABG（SAS），
∴AF=AG，∠DAF=∠BAG．
又∵AE是∠BAF的平分線
∴∠EAF=∠BAE，
∴∠DAF+∠EAF=∠BAG+∠BAE即∠EAD=∠GAE．
∵AD∥BC，
∴∠GEA=∠EAD，
∴∠GEA=∠GAE，
∴AG=GE．
即AG=BG+BE．
∴AF=DF+BE，得證．

（2）
∵AD=AB=1，
∴
由（1）知，AF=DF+BE，所以．
在Rt△ADF中，AD=1，DF=x，
∴，
∴．
由上式可知，當(dāng)x²達(dá)到最大值時(shí)，S最大．而0≤x≤1，
所以，當(dāng)x=1時(shí)，S最大值為．
分析：（1）作輔助線AG、BG，使得BG=DF，可以求證△ABG≌△ADF，在求證∠GAE=∠DAE=∠GEA，即可求證AG=EG，即求EG=DF+BE即可．
（2）列出△ADF與△ABE的面積和S的計(jì)算式，并且化簡(jiǎn)，根據(jù)S與x的關(guān)系求最大值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的轉(zhuǎn)化思想，要把AF轉(zhuǎn)化到其全等三角形里面，根據(jù)等腰三角形腰長(zhǎng)相等的性質(zhì)求解．考查了面積計(jì)算公式，和一元二次不等式極值的計(jì)算．