Question

【題目】在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A是拋物線y=x2在第二象限上的點(diǎn)，連接OA，過點(diǎn)O作OB⊥OA，交拋物線于點(diǎn)B，以O(shè)A、OB為邊構(gòu)造矩形AOBC．

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為時(shí)，矩形AOBC是正方形；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為- 時(shí)，
①求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
②將拋物線y=x2作關(guān)于x軸的軸對(duì)稱變換得到拋物線y=﹣x2 ， 試判斷拋物線y=﹣x2經(jīng)過平移交換后，能否經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)？如果可以，說出變換的過程；如果不可以，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）-1
（2）

解：①如圖2，過點(diǎn)A作AE⊥x軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BF⊥x軸于點(diǎn)F，

當(dāng)x=﹣ 時(shí)，y=（﹣ ）2= ，

即OE= ，AE= ，

∵∠AOE+∠BOF=180°﹣90°=90°，

∠AOE+∠EAO=90°，

∴∠EAO=∠BOF，

又∵∠AEO=∠BFO=90°，

∴△AEO∽△OFB，

∴ = = ，

設(shè)OF=t，則BF=2t，

∴t2=2t，

解得：t1=0（舍去），t2=2，

∴點(diǎn)B（2，4）；

②如圖2，過點(diǎn)C作CG⊥FB的延長線于點(diǎn)G，

∵∠AOE+∠EAO=90°，∠FBO+∠CBG=90°，∠AOE=∠FBO，

∴∠EAO=∠CBG，

在△AEO和△BGC中， ，

∴△AEO≌△BGC（AAS），

∴CG=OE= ，BG=AE= ．

∴xc=2﹣ = ，yc=4+ = ，

∴點(diǎn)C（ ， ），

設(shè)過A（﹣ ， ）、B（2， 4）兩點(diǎn)的拋物線解析式為y=﹣x2+bx+c，由題意得， ，

解得 ，

∴經(jīng)過A、B兩點(diǎn)的拋物線解析式為y=﹣x2+3x+2，

當(dāng)x= 時(shí)，y=﹣（ ）2+3× +2= ，所以點(diǎn)C也在此拋物線上，

故經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線解析式為y=﹣x2+3x+2=﹣（x﹣ ）2+ ．

平移方案：先將拋物線y=﹣x2向右平移 個(gè)單位，再向上平移 個(gè)單位得到拋物線y=﹣（x﹣ ）2+ ．

【解析】解：（1）如圖1，過點(diǎn)A作AD⊥x軸于點(diǎn)D，
∵矩形AOBC是正方形，
∴∠AOC=45°，
∴∠AOD=90°﹣45°=45°，
∴△AOD是等腰直角三角形，
設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣a，a）（a≠0），
則（﹣a）2=a，
解得a1=1，a2=0（舍去），
∴點(diǎn)A的橫坐標(biāo)﹣a=﹣1，
故答案為：﹣1；

（1）過點(diǎn)A作AD⊥x軸于點(diǎn)D，根據(jù)正方形的對(duì)角線平分一組對(duì)角可得∠AOC=45°，所以∠AOD=45°，從而得到△AOD是等腰直角三角形，設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)為（﹣a，a），然后利用點(diǎn)A在拋物線上，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式計(jì)算即可得解；（2）①過點(diǎn)A作AE⊥x軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BF⊥x軸于點(diǎn)F，先利用拋物線解析式求出AE的長度，然后證明△AEO和△OFB相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出OF與BF的關(guān)系，然后利用點(diǎn)B在拋物線上，設(shè)出點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線解析式計(jì)算即可得解；②過點(diǎn)C作CG⊥BF于點(diǎn)G，可以證明△AEO和△BGC全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得CG=OE，BG=AE，然后求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再根據(jù)對(duì)稱變換以及平移變換不改變拋物線的形狀利用待定系數(shù)法求出過點(diǎn)A、B的拋物線解析式，把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入所求解析式進(jìn)行驗(yàn)證變換后的解析式是否經(jīng)過點(diǎn)C，如果經(jīng)過點(diǎn)C，把拋物線解析式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式解析式，根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)寫出變換過程即可．