Question

【題目】已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，△OAB的頂點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是A（0，5），B（3，1），過(guò)點(diǎn)B畫(huà)BC⊥AB交直線(xiàn)于點(diǎn)C，連結(jié)AC，以點(diǎn)A為圓心，AC為半徑畫(huà)弧交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)D，連結(jié)AD、CD．

（1）求證：△ABC≌△AOD．

（2）設(shè)△ACD的面積為，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式．

（3）若四邊形ABCD恰有一組對(duì)邊平行，求的值．

Answer 1

【答案】（1）證明詳見(jiàn)解析；（2）S=（m+1）2+（m＞）；（3）3或8．

【解析】

試題（1）利用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算出AB=5，則AB=OA，則可根據(jù)“HL”證明△ABC≌△AOD；

（2）過(guò)點(diǎn)B作直線(xiàn)BE⊥直線(xiàn)y=﹣m于E，作AF⊥BE于F，如圖，證明Rt△ABF∽R(shí)t△BCE，利用相似比可得BC=（m+1），再在Rt△ACB中，由勾股定理得AC2=AB2+BC2=25+（m+1）2，然后證明△AOB∽△ACD，利用相似的性質(zhì)得，而S△AOB=，于是可得S=（m+1）2+（m＞）；

（3）作BH⊥y軸于H，如圖，分類(lèi)討論：當(dāng)AB∥CD時(shí)，則∠ACD=∠CAB，由△AOB∽△ACD得∠ACD=∠AOB，所以∠CAB=∠AOB，利用三角函數(shù)得到tan∠AOB=3，tan∠ACB=，所以=3；當(dāng)AD∥BC，則∠5=∠ACB，由△AOB∽△ACD得到∠4=∠5，則∠ACB=∠4，根據(jù)三角函數(shù)定義得到tan∠4=，tan∠ACB=，則=，然后分別解關(guān)于m的方程即可得到m的值．

試題解析：（1）證明：∵A（0，5），B（3，1），

∴AB==5，

∴AB=OA，

∵AB⊥BC，

∴∠ABC=90°，

在Rt△ABC和Rt△AOD中，

，

∴Rt△ABC≌Rt△AOD；

（2）解：過(guò)點(diǎn)B作直線(xiàn)BE⊥直線(xiàn)y=﹣m于E，作AF⊥BE于F，如圖，∵∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°，

∴∠2=∠3，

∴Rt△ABF∽R(shí)t△BCE，

∴，即，

∴BC=(m+1），

在Rt△ACB中，AC2=AB2+BC2=25+（m+1）2，

∵△ABC≌△AOD，

∴∠BAC=∠OAD，即∠4+∠OAC=∠OAC+∠5，

∴∠4=∠5，

而AO=AB，AD=AC，

∴△AOB∽△ACD，

∴=，

而S△AOB=×5×3=，

∴S=（m+1）2+（m＞）；

（3）作BH⊥y軸于H，如圖，

當(dāng)AB∥CD時(shí)，則∠ACD=∠CAB，

而△AOB∽△ACD，

∴∠ACD=∠AOB，

∴∠CAB=∠AOB，

而tan∠AOB==3，tan∠ACB===，

∴=3，解得m=8；

當(dāng)AD∥BC，則∠5=∠ACB，

而△AOB∽△ACD，

∴∠4=∠5，

∴∠ACB=∠4，

而tan∠4=，tan∠ACB=，

∴=，

解得m=3．

綜上所述，m的值為3或8．