Question

已知關(guān)于的方程
（1）求證：無(wú)論取任何實(shí)數(shù)時(shí)，方程恒有實(shí)數(shù)根；
（2）若關(guān)于的二次函數(shù)的圖象與軸兩交點(diǎn)間的距離為2時(shí)，求拋物線的解析式.

Answer 1

（1）分與兩種情況討論，再結(jié)合一元二次方程的根的判別式即可判斷；
（2）

試題分析：（1）分與兩種情況討論，再結(jié)合一元二次方程的根的判別式即可判斷；
（2）先求出二次函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)兩交點(diǎn)間的距離為2即可求得m的值，從而得到結(jié)果.
（1）分兩種情況討論：
當(dāng)時(shí)，方程為，，方程有實(shí)數(shù)根
當(dāng)，則一元二次方程的根的判別式
＝
不論為何實(shí)數(shù)，成立，即方程恒有實(shí)數(shù)根
綜合、可知取任何實(shí)數(shù)，方程恒有實(shí)數(shù)根；
（2）設(shè)為拋物線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).
則有， 
∴拋物線與軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為（2 ，0）、（ ，0）
∵拋物線與軸兩交點(diǎn)間的距離為2
∴或 
∴或
∴所求拋物線的解析式為.
點(diǎn)評(píng)：解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程，當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程的兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根。