Question

【題目】如圖，以矩形ABCD對(duì)角線AC為底邊作等腰直角△ACE，連接BE，分別交AD，AC于點(diǎn)F，N，CD＝AF，AM平分∠BAN．下列結(jié)論：①EF⊥ED；②∠BCM＝∠NCM；③AC＝EM；④BN2+EF2＝EN2；⑤AEAM＝NEFM，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（　�。�

A.2B.3C.4D.5

Answer 1

【答案】C

【解析】

①正確，只要證明A，B，C，D，E五點(diǎn)共圓即可解決問(wèn)題；

②正確，證明BE平分∠ABC，再證明點(diǎn)M是△ABC的內(nèi)心即可；

③正確，證明∠EAM＝∠EMA可得EM=AE，即可解決問(wèn)題；
④正確．如圖2中，將△ABN逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△AFG，連接EG．想辦法證明△GEF是直角三角形，利用勾股定理即可解決問(wèn)題；
⑤錯(cuò)誤．利用反證法證明即可．

解：如圖1中，連接BD交AC于O，連接OE．

∵四邊形ABCD是矩形，

∴OA＝OC＝OD＝OB，

∵∠AEC＝90°，

∴OE＝OA＝OC，

∴OA＝OB＝OC＝OD＝OE，

∴A，B，C，D，E五點(diǎn)共圓，BD是直徑，

∴∠BED＝90°，

∴EF⊥ED，故①正確，

∵CD＝AB＝AF，∠BAF＝90°，

∴∠ABF＝∠AFB＝∠FBC＝45°，

∴BM平分∠ABC，

∵AM平分∠BAC，

∴點(diǎn)M是△ABC的內(nèi)心，

∴CM平分∠ACB，

∴∠MCB＝∠MCA，故②正確，

∵∠EAM＝∠EAC+∠MAC，∠EMA＝∠BAM+∠ABM，∠ABM＝∠EAC＝45°，

∴∠EAM＝∠EMA，

∴EA＝EM，

∵△EAC是等腰直角三角形，

∴AC＝EA＝EM，故③正確，

如圖2中，將△ABN繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△AFG，連接EG，

∵將△ABN繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△AFG，

∴∠NAB＝∠GAF，∠GAN＝∠BAD＝90°，AG＝AN，GF＝BN，

∵∠EAN＝45°，

∴∠EAG＝∠EAN＝45°，

∵AE＝AE，

∴△AEG≌△AEN（SAS），

∴EN＝EG，

∵∠AFG＝∠ABN＝∠AFB＝45°，

∴∠GFB＝∠GFE＝90°，

∴EG2＝GF2+EF2，

∴BN2+EF2＝EN2，故④正確，

不妨設(shè)AEAM＝NEFM，

∵AE＝EC，

∴，

∴只有△ECN∽△MAF才能成立，

∴∠AMF＝∠CEN，

∴CE∥AM，

∵AE⊥CE，

∴MA⊥AE（矛盾），

∴假設(shè)不成立，故⑤錯(cuò)誤，

故選：C．