Question

如圖，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，點(diǎn)D是BC上的任意一點(diǎn)，探究：BD²+CD²與AD²的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：探究得到的關(guān)系為：BD²+CD²=2AD²，作AE⊥BC于E，由于∠BAC=90°，AB=AC，所以BE=CE，要證明BD²+CD²=2AD²，只需找出BD、CD、AD三者之間的關(guān)系即可，由勾股定理可得出AD²=AE²+ED²，AE²=AB²-BE²=AC²-CE²，ED=BE-BD=CD-CE，代入求出三者之間的關(guān)系即可得證．

解答：探究得到的關(guān)系為：BD²+CD²=2AD²
證明：作AE⊥BC于E，如上圖所示：
由題意得：ED=BE-BD=CD-CE，
在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴BE=CE=

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2

BC，
由勾股定理可得：
AB²+AC²=BC²，
∵AE²=AB²-BE²=AC²-CE²，AD²=AE²+ED²，
∴2AD²=2AE²+2ED²=AB²-BE²+（BE-BD）²+AC²-CE²+（CD-CE）²
=AB²+AC²+BD²+CD²-2BD×BE-2CD×CE，
=AB²+AC²+BD²+CD²-2×

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2

BC×BC，
=BD²+CD²，
即：BD²+CD²=2AD²．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查勾股定理，關(guān)鍵在于找出直角三角形利用勾股定理求證，本題主要運(yùn)用“等量代換”求出BD、CD、AD三者之間的關(guān)系．