Question

【題目】如圖，△ABC中，∠ABC=90°.

（1）請(qǐng)?jiān)贐C上找一點(diǎn)P，作⊙P與AC，AB都相切，切點(diǎn)為Q；（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）

（2）若AB=3，BC=4，求第（1）題中所作圓的半徑；

（3）連結(jié)BQ，第（2）中的條件均不變，求sin∠CBQ.

Answer 1

【答案】（1）作圖見(jiàn)解析；（2）1.5；（3）.

【解析】

試題分析：本題考查了作圖-復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．解決此類(lèi)題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)和三角函數(shù)的定義.（1）作∠BAC的平分線(xiàn)交BC于P點(diǎn)，然后以點(diǎn)P為圓心，PB為半徑作圓即可；

（2）連結(jié)PQ，如圖，先計(jì)算出AC=5，設(shè)半徑為r，BP=PQ=r，PC=4-r，再證明Rt△CPQ∽Rt△CAB，則可利用相似比計(jì)算出r即可；

（3）先利用切線(xiàn)長(zhǎng)定理得到AB=AQ，加上PB=PQ，則判定AP為BQ的垂直平分線(xiàn)，則利用等角的余角相等得到∠CBQ=∠BAP，然后在Rt△ABP中利用正弦定義求出sin∠BAP，從而可得到sin∠CBQ的值.

試題解析：（1）如圖，

；

(2)連結(jié)PQ,設(shè)半徑為r,BP=PQ=r,PC=4-r，

由∠ABC=90°,AB=3，BC=4,得AC=5，

(易證)△PQC∽△ABC，

=，即=，得r=1.5；

(3)由AB,AQ與⊙P相切,

AB=AQ

BP=PQ

AP為BQ的中垂線(xiàn)

，

易證△BHP∽△ABP，

∠CBQ=∠BAP，

sin∠CBQ=sin∠BAP=.