如圖1，已知P為正方形ABCD的對角線AC上一點(不與A、C重合)，PE⊥BC于點E，PF⊥CD于點F．

(1)求證：BP＝DP；

(2)如圖2，若四邊形PECF繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中是否總有BP＝DP？若是，請給予證明；若不是，請用反例加以說明；

(3)試選取正方形ABCD的兩個頂點，分別與四邊形PECF的兩個頂點連結(jié)，使得到的兩條線段在四邊形PECF繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)的過程中長度始終相等，并證明你的結(jié)論．

答案：
解析：

　　⑴解法一：在△ABP與△ADP中，利用全等可得BP＝DP．　　　　2分

　　解法二：利用正方形的軸對稱性，可得BP＝DP．　　　　2分

　�、撇皇强偝闪ⅲ　　　�3分

　　當四邊形PECF繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，點P旋轉(zhuǎn)到BC邊上時，DP＞DC＞BP，此時BP＝DP不成立．　　　　5分

　　說明：未用舉反例的方法說理的不得分．

　�、沁B接BE、DF，則BE與DF始終相等．　　　　6分

　　在圖1中，可證四邊形PECF為正方形，　　　　7分

　　在△BEC與△DFC中，可證△BEC≌△DFC．

　　從而有BE＝DF．　　　　8分


練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

如圖1，已知直線y=2x（即直線l1）和直線y=-
12
x+4（即直線l2），l2與x軸相交于點A．點P從原點O出發(fā)，向x軸的正方向作勻速運動，速度為每秒1個單位，同時點Q從A點出發(fā)，向x軸的負方向作勻速運動，速度為每秒2個單位．設(shè)運動了t秒．
（1）求這時點P、Q的坐標（用t表示）．
（2）過點P、Q分別作x軸的垂線，與l1、l2分別相交于點O1、O2（如圖1）．以O(shè)1為圓心、O1P為半徑的圓與以O(shè)2為圓心、O2Q為半徑的圓能否相切？若能精英家教網(wǎng)，求出t值；若不能，說明理由．（同學可在圖2中畫草圖）

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

如圖1，已知矩形ABCD的頂點A與點O重合，AD、AB分別在x軸、y軸上，且AD=2，AB=3；拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過坐標原點O和x軸上另一點E（4，0）
（1）當x取何值時，該拋物線取最大值？該拋物線的最大值是多少？
（2）將矩形ABCD以每秒1個單位長度的速度從圖1所示的位置沿x軸的正方向勻速平行移動，同時一動點P也以相同的速度從點A出發(fā)向B勻速移動．設(shè)它們運動的時間為t秒（0≤t≤3），直線AB與該拋物線的交點為N（如圖2所示）．
①當t=
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時，判斷點P是否在直線ME上，并說明理由；
②以P、N、C、D為頂點的多邊形面積是否可能為5？若有可能，求出此時N點的坐標；若無可能，請說明理由．
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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•淮濱縣模擬）如圖1，已知拋物線經(jīng)過坐標原點O和x軸上另一點E，頂點M的坐標為（2，4）；矩形ABCD的頂點A與點O重合，AD、AB分別在x軸、y軸上，且AD=2，AB=3．
（1）求該拋物線的函數(shù)解析式；
（2）將矩形ABCD以每秒1個單位長度的速度從圖1所示的位置沿x軸的正方向勻速平行移動，同時一動點P也以相同的速度從點A出發(fā)向B勻速移動，設(shè)它們運動的時間為t秒（0≤t≤3），直線AB與該拋物線的交點為N（如圖2所示）．
①當t=2秒時，判斷點P是否在直線ME上，并說明理由；
②設(shè)以P、N、C、D為頂點的多邊形面積為S，試問S是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•湖州）如圖1，已知菱形ABCD的邊長為2
3
，點A在x軸負半軸上，點B在坐標原點．點D的坐標為（-
3
，3），拋物線y=ax2+b（a≠0）經(jīng)過AB、CD兩邊的中點．
（1）求這條拋物線的函數(shù)解析式；
（2）將菱形ABCD以每秒1個單位長度的速度沿x軸正方向勻速平移（如圖2），過點B作BE⊥CD于點E，交拋物線于點F，連接DF、AF．設(shè)菱形ABCD平移的時間為t秒（0＜t＜
3
）
①是否存在這樣的t，使△ADF與△DEF相似？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由；
②連接FC，以點F為旋轉(zhuǎn)中心，將△FEC按順時針方向旋轉(zhuǎn)180°，得△FE′C′，當△FE′C′落在x軸與拋物線在x軸上方的部分圍成的圖形中（包括邊界）時，求t的取值范圍．（寫出答案即可）

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

如圖l，已知拋物線經(jīng)過坐標原點O和x軸上另一點D，頂點的坐標為（2，4）．直角三角形ABC的頂點A與點O重合，AC，AB分別在x軸，y軸上，且AC=3，AB=4．
（1）直線BC的解析式為
y=
4
3
x+4
y=
4
3
x+4
；
（2）求該拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（3）將直角三角形ABC以每秒1個單位長度的速度從圖1所示的位置沿x軸的正方向勻速平行移動，同時一動點P也以相同的速度從點A出發(fā)向B勻速移動，設(shè)它們運動的時間為t秒（0≤t≤2），AB邊與該拋物線的交點為Q（如圖2所示）．
①設(shè)△CPQ的面積為S，試問S是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由；
②直接寫出直線BC與拋物線有唯一的公共點時t的值．

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