Question

如圖，已 知直線 交坐標(biāo)軸于兩點(diǎn)，以線段為邊向上作正方形，過點(diǎn)的拋物線與直線另一個交點(diǎn)為．

（1）請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）求拋物線的解析式；

（3）若正方形以每秒個單位長度的速度沿射線下滑，直至頂點(diǎn)落在x軸上時停止．設(shè)正方形落在軸下方部分的面積為，求關(guān)于滑行時間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)自變量的取值范圍；

（4）在（3）的條件下，拋物線與正方形一起平移，同時停止，求拋物線上兩點(diǎn)間的拋物線弧所掃過的面積．

 

Answer 1

【答案】

（1）               （2）．

(3)當(dāng)時，

當(dāng)時，S=

當(dāng)時，S=        (4)

【解析】（1）可先根據(jù)AB所在直線的解析式求出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得出OA、OB的長．過D作DM⊥y軸于M，則△ADM≌△BAO，由此可得出MD、MA的長，也就能求出D的坐標(biāo)，同理可求出C的坐標(biāo)；

（2）可根據(jù)A、C、D三點(diǎn)的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；

（3）要分三種情況進(jìn)行討論：

①當(dāng)F點(diǎn)在A′B′之間時，即當(dāng)0＜t≤1時，此時S為三角形FBG的面積，可用正方形的速度求出AB′的長，即可求出B′F的長，然后根據(jù)∠GFB′的正切值求出B′G的長，即可得出關(guān)于S、t的函數(shù)關(guān)系式．

②當(dāng)A′在x軸下方，但C′在x軸上方或x軸上時，即當(dāng)1＜t≤2時，S為梯形A′GB′H的面積，可參照①的方法求出A′G和B′H的長，那么梯形的上下底就可求出，梯形的高為A′B′即正方形的邊長，可根據(jù)梯形的面積計算公式得出關(guān)于S、t的函數(shù)關(guān)系式．

③當(dāng)D′逐漸移動到x軸的過程中，即當(dāng)2＜t≤3時，此時S為五邊形A′B′C′HG的面積，S=正方形A′B′C′D′的面積-三角形GHD′的面積．可據(jù)此來列關(guān)于S，t的函數(shù)關(guān)系式；

（4）CE掃過的圖形是個平行四邊形，經(jīng)過關(guān)系不難發(fā)現(xiàn)這個平行四邊形的面積實(shí)際上就是矩形BCD′A′的面積．可通過求矩形的面積來求出CE掃過的面積