Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的兩邊OA、OC分別在x軸、y軸的正半軸上，OA=4，OC=2．點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿x軸以每秒1個(gè)單位長的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒．將線段CP的中點(diǎn)繞點(diǎn)P按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得點(diǎn)D，點(diǎn)D隨點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，連接DP、DA．
（1）請(qǐng)用含t的代數(shù)式表示出點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）求t為何值時(shí)，△DPA的面積最大，最大為多少？
（3）在點(diǎn)P從O向A運(yùn)動(dòng)的過程中，△DPA能否成為直角三角形？若能，求t的值．若不能，請(qǐng)說明理由；
（4）請(qǐng)直接寫出隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)路線的長．

Answer 1

（1）∵點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿x軸以每秒1個(gè)單位長的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，
∴OP=t，而OC=2，
∴P（t，0），
設(shè)CP的中點(diǎn)為F，
則F點(diǎn)的坐標(biāo)為（

t

2

，1），
∴將線段CP的中點(diǎn)F繞點(diǎn)P按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得點(diǎn)D，其坐標(biāo)為（t+1，

t

2

）；

（2）∵D點(diǎn)坐標(biāo)為（t+1，

t

2

），OA=4，
∴S_△DPA=

1

2

AP×

t

2

=

1

2

（4-t）×

t

2

=

1

4

（4t-t²）=-

1

4

（t-2）²+1，
∴當(dāng)t=2時(shí)，S_最大=1；

（3）能構(gòu)成直角三角形．
①當(dāng)∠PDA=90°時(shí)，PC∥AD，

由勾股定理得，PD²+AD²=AP²，
即（

t

2

）²+1+（4-t-1）²+（

t

2

）²=（4-t）²，
解得，t=2或t=-6（舍去）．
∴t=2秒．
②當(dāng)∠PAD=90°時(shí)，此時(shí)點(diǎn)D在AB上，

可知，△COP∽△PAD，
∴

CP

PD

=

CO

PA

，
∴

2

1

=

2

PA

，
PA=1，
即t+1=4，t=3秒．
綜上，可知當(dāng)t為2秒或3秒時(shí)，△DPA能成為直角三角形．

（4）∵根據(jù)點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)路線與OB平行且相等，OB=2

5

，
∴點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)路線的長為2

5

．