Question

如圖，已知在△ABC中，∠BAC為直角，AB=AC，D為AC上一點，CE⊥BD于E．

（1）若BD平分∠ABC，求證CE=BD；

（2）若D為AC上一動點，∠AED如何變化，若變化，求它的變化范圍；若不變，求出它的度數(shù)，并說明理由。

Answer 1

（1）延長BA、CE相交于點F，先證△BEC≌△BEF(ASA)（3分），

∴CE=FE，∴CE=CF．∵∠BAC是直角，∴∠BAD=∠CAF=90°，

而∠F+∠FBE=∠FCA+∠F=90°，∴∠ACF=∠FBE（4分），

又∵AC=AB，∴△BAD≌△CAF(ASA)，∴BD=CF，即CE=BD（5分）

（2）∠AEB不變?yōu)?5°（6分）理由如下：

過點A作AH⊥BE垂足為H，作AG⊥CE交CE延長線于G，

先證∠ACF=∠ABD（8分）得△BAH≌△CAG(AAS)，∴AH=AG（9分）

而AH⊥EB，AG⊥EG，∴EA平分∠BEF，∴∠BEA=∠BEG=45°（10分）

  或：由⑴證得△BAD≌△CAF(ASA)，△BAD的面積=△CAF的面積，

∴BD•AH=CF•AG，而BD=CF，∴AH=AG（余下同上）．