Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝3，AC和BD交于點O，點E是邊BC上的動點（不與點B，C重合），連接EO并延長交AD于點F，連接AE，若△AEF是等腰三角形，則DF的長為_____．

Answer 1

【答案】或1或或．

【解析】

依據(jù)矩形的性質(zhì)，即可得出△BEO≌△DFO（AAS），進(jìn)而得到OF=OE，DF=BE．設(shè)BE=DF=a，則AF=3-a．當(dāng)△AEF是等腰三角形時，分三種情況討論．根據(jù)勾股定理列方程即可得到DF的長．

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，OB＝OD，

∴∠FDO＝∠EBO，∠DFO＝∠BEO，

∴△BEO≌△DFO（AAS），

∴OF＝OE，DF＝BE．

設(shè)BE＝DF＝a，則AF＝3﹣a．

當(dāng)△AEF是等腰三角形時，分三種情況討論．

①如圖（1），當(dāng)AE＝AF時，在Rt△ABE中，由AE2＝AB2+BE2，得（3﹣a）2＝12+a2，

解得a=

②如圖（2），當(dāng)AE＝EF時，過點E作EH⊥AD于點H，則AH＝FH＝BE，

∴AF＝2BE，

∴3﹣a＝2a，

解得a＝1．

③如圖（3），當(dāng)AF＝EF時，∠FAE＝∠FEA．

又∠FAE＝∠AEB，

∴∠FEA＝∠AEB．

過點A作AG⊥EF于點G，則AG＝AB＝1，EG＝BE＝a，

∴FG＝3﹣2a．

在Rt△AFG中，由AF2＝AG2+FG2，得（3﹣a）2＝12+（3﹣2a）2，

解得a1＝1-, a2＝1+.

綜上所述，DF的長為或1或1-或1+．

故答案為：或1或1-或1+．