Question

如圖，在等邊△ABC中，AB=9cm，點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)沿CB邊向點(diǎn)B點(diǎn)以2cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q點(diǎn)從B點(diǎn)出發(fā)沿BA邊向A點(diǎn)以5cm/s速度移動(dòng)．P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，它們移動(dòng)的時(shí)間為t秒鐘．
（1）你能用t表示BP和BQ的長度嗎？請(qǐng)你表示出來．
（2）請(qǐng)問幾秒鐘后，△PBQ為等邊三角形？
（3）若P、Q兩點(diǎn)分別從C、B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，并且都按順時(shí)針方向沿△ABC三邊運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)問經(jīng)過幾秒鐘后點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次在△ABC的哪條邊上相遇？

Answer 1

解：（1）∵等邊△ABC，
∴BC=AB=9cm，
∵點(diǎn)P的速度為2cm/s，時(shí)間為ts，
∴CP=2t，
則PB=BC-CP=（9-2t）cm；
∵點(diǎn)Q的速度為5cm/s，時(shí)間為ts，
∴BQ=5t；

（2）若△PBQ為等邊三角形，
則有BQ=BP，即9-2t=5t，
解得t=，
所以當(dāng)t=s時(shí)，△PBQ為等邊三角形；

（3）設(shè)ts時(shí)，Q與P第一次相遇，
根據(jù)題意得：5t-2t=18，
解得t=6，
則6s時(shí)，兩點(diǎn)第一次相遇．
當(dāng)t=6s時(shí)，P走過得路程為2×6=12cm，
而9＜12＜18，即此時(shí)P在AB邊上，
則兩點(diǎn)在AB上第一次相遇．
分析：（1）由三角形ABC為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的三邊相等得到AB=BC=9cm，由P的速度和時(shí)間t表示出P走過的路程CP的長，然后用邊長BC減去CP即可表示出BP；由Q的速度及時(shí)間t，即可表示出Q走過的路程BQ；
（2）若△PBQ為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的邊長相等則有PB=BQ，由（1）表示出的代數(shù)式代入即可列出關(guān)于t的方程，求出方程的解即可得到滿足題意的t的值；
（3）同時(shí)出發(fā)，要相遇其實(shí)是一個(gè)追及問題，由于Q的速度大于P的速度，即Q要追及上P，題意可知兩點(diǎn)相距AB+AC即兩個(gè)邊長長，第一次相遇即為Q比P多走兩個(gè)三角形邊長，設(shè)出第一次相遇所需的時(shí)間，根據(jù)Q運(yùn)動(dòng)的路程-P運(yùn)動(dòng)的路程=18列出關(guān)于t的方程，求出方程的解即可求出滿足題意的t的值，然后由求出t的值計(jì)算出P運(yùn)動(dòng)的路程，確定出路程的范圍，進(jìn)而判斷出P的位置即為第一次相遇的位置．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了等邊三角形的性質(zhì)，是一道探究型動(dòng)點(diǎn)題，解決此類型題先假設(shè)結(jié)論成立，看是否導(dǎo)致矛盾，還是達(dá)到與已知條件相符，從而確定探究的結(jié)論是否成立，對(duì)于動(dòng)點(diǎn)問題，常�；瘎�(dòng)為靜，尋找特殊位置，從而解決問題，例如此題的第三問，應(yīng)理解為追及問題，找出等量關(guān)系Q運(yùn)動(dòng)的路程-P運(yùn)動(dòng)的路程=2倍的等邊三角形邊長是解題的關(guān)鍵．